Concavidade de uma função e exemplos resolvidos

Concavidade de uma função e exemplos resolvidos 

 

O estudo da concavidade de uma função nos auxilia a compreender melhor o comportamento do seu gráfico. Como já vimos em posts anteriores, a primeira derivada nos aponta onde a função é crescente ou decrescente, porém não nos revela a sua curvatura.

Por exemplo, na figura a seguir temos a função cúbica que é sempre crescente, entretanto seu comportamento é diferente em x>0 e x<0.

 

Concavidade de uma função

Desta forma, saber determinar onde a função possui concavidade para cima ou para baixo nos possibilita traçar o gráfico com maior exatidão. 

Teorema da concavidade das funções 

Seja a função f(x) duas vezes diferenciável em uma intervalo aberto I, então dizemos que

  • A função f(x) tem concavidade para cima no intervalo I se f''(x)>0 ;
  • A função f(x) tem concavidade para baixo no intervalo I se f''(x)<0 .
Exemplo Resolvido

1) Analise o comportamento da concavidade da função f(x)=x^{4}-5x^{2}

Neste exemplo temos a função polinomial de quarta ordem. Ao derivar tem-se:

f'(x)=4x^{3}-10x

Sua segunda derivada é:

f''(x)=12x^{2}-10 .

Agora devemos analisar o comportamento desta segunda derivada, ou seja, determinar onde  f''(x)>0 e f''(x)<0 .

Para isto devemos utilizar as inequações e determinar os intervalos de cada uma delas. Caso você tenha dificuldade em resolver este tipo de inequação, clique aqui onde já resolvemos um exemplo de Inequação do 2º Grau.

  • 12x^{2}-10>0

Neste caso temos como intervalo \displaystyle \left (-\infty,-\frac{\sqrt{30}}{6}\right )\cup \left (\frac{\sqrt{30}}{6},+\infty \right ) .

Obs:\frac{\sqrt{30}}{6}\approx 0,9 .

  • 12x^{2}-10<0

Neste outro caso temos \displaystyle \left (-\frac{\sqrt{30}}{6}, \frac{\sqrt{30}}{6}\right ) .

Na figura a baixo podemos ver claramente o comportamento em que determinados a partir do estudo da segunda derivada.

Concavidade de uma função

Obs: nos pontos onde função não possui concavidade para cima ou para baixo sao conhecidos como pontos de inflexão, ou seja, onde f''(x)=0.

Acompanhe também explicações e resoluções de outros exemplos em vídeo, clicando aqui

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Publicado em 15/12/2017, em aplicações, Derivadas.