Aproximação linear local

Aproximação linear local

 

Neste post mostra-se uma outra aplicação da função derivada, em que podemos fazer uma Aproximação linear local para funções não lineares.

Entretanto, como o próprio nome diz é uma aproximação local, possuindo valores aproximados apenas em uma determinada vizinhança.

Como a função f(x) é aproximada pela sua reta tangente no ponto P(x_{0},f(x_{0})), quanto mais afastado de P , maior será o erro.  

Para construir a equação da reta tangente necessita-se encontrar o coeficiente angular “a” que é dado pela derivada no ponto e o coeficiente linear “b” que encontra-se ao substituir o ponto P(x_{0},f(x_{0})) e “a” na equação geral das retas é dado por:

f(x)=ax+b .

Assim, tem-se:

b=f(x_{0})-ax_{0} ,

onde a=f'(x_{0}) .

Exemplo: Use a aproximação linear local da função f(x)=\sqrt[3]{x} no ponto x=8 para encontrar o valor de \sqrt[3]{8,1} .

Primeiramente deve-se encontrar o coeficiente angular da reta tangente através da derivada da função para obter:

\displaystyle\frac{d}{dx}\Big[\sqrt[3]{x}\Big]=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}} .

Aplicando o ponto x=8 tem-se:

\displaystyle f'(8)=\frac{1}{3\sqrt[3]{8^{2}}}=\frac{1}{12} .

Em seguida, encontra-se o coeficiente linear:

\displaystyle b=f(x_{0})-ax_{0}=2-\frac{1}{12}\cdot 8=\frac{4}{3} .

Assim, a aproximação linear local é dada por :

\displaystyle f(x)\approx \frac{1}{12}x+\frac{4}{3} .

Portanto, encontra-se o valor de \displaystyle \sqrt[3]{8,1}, 

\displaystyle \sqrt[3]{8,1}\approx \frac{1}{12}8,1+\frac{4}{3}=2,00833 .

Pela calculadora encontra-se:

\displaystyle \sqrt[3]{8,1}=2,00830 .

Obs: quanto mais próximo o ponto estiver de 8, mais preciso será o resultado.

Aproveite ver outros exemplos clicando aqui ou aqui.