Estudo do sinal da função

Estudo do sinal da função

 

O Estudo do sinal da função consiste em avaliar o comportamento da função ao longo do domínio, ou seja, descrever onde ela é crescente, decrescente e os pontos de inflexão.

Para realizar este estudo utilizamos os conhecimentos de derivada, uma vez que a derivada descreve a inclinação da reta tangente. Assim, quando tem-se:

  • f'(x)>0, a inclinação é positiva então a função é crescente. 
  • f'(x)<0, a inclinação é negativa então a função é decrescente.
  • f'(x)=0, a inclinação é nula então a função está nos pontos de inflexão.

Vejamos um exemplo:

Dada a função \displaystyle f(x)=2x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-3x+1 , faça o estudo da função.

Primeiramente deve-se derivar a função f(x). Como se trata de um polinômio pode-se aplicar a derivada da potência em cada termo, onde obtém-se: 

\displaystyle f'(x)=6x^{2}-3x-3 .

Iniciamos encontrando os pontos de inflexão, pontos onde a derivada é igual a zero, ou seja, onde a inclinação da reta tangente é nula. 

\displaystyle f'(x)=0=6x^{2}-3x-3

Como se trata de uma equação do segundo grau pode-se encontrar as raízes aplicando a fórmula de Bhaskara, onde encontram-se as raízes:

\displaystyle x_{1}=1   e   \displaystyle x_{2}=-\frac{1}{2} .

Isto quer dizer que os pontos  x=1 e \displaystyle x=-\frac{1}{2} a função f(x) não é crescente nem decrescente.

Conhecidos os pontos de inflexão, deve-se determinar onde a função f(x) é crescente e decrescente.

Pode-se fazer de duas formas:

1) Uma vez conhecidos o comportamento de uma função cúbica e  os pontos de inflexão, tem-se informações suficientes para descrever os sinais da função.

2) Uma vez não conhecidos, deve-se encontrar onde a função é crescente, f'(x)>0, e decrescente,  f'(x)>0 .

Começamos com o caso onde a função é crescente (f'(x)>0) :

6x^{2}-3x-3>0 .

Note que pode-se escrever na forma do produto das raízes da diferença como:

\displaystyle 6(x-1)(x+\frac{1}{2})>0 .

Aplicando o conhecimento de inequação encontra-se que a função é crescente  em:

\displaystyle x<-\frac{1}{2}  e  \displaystyle x>1 . 

De forma análoga, pode-se encontrar onde ela é decrescente, f'(x)<0 :

\displaystyle 6(x-1)(x+\frac{1}{2})<0 .

Resolvendo a inequação encontra-se:

\displaystyle -\frac{1}{2}<x<1 .

Observa-se no gráfico o comportamento da função conforme acabamos de encontrar.

Pode-se também perceber que os pontos de inflexão são pontos de máximo local em \displaystyle x=-\frac{1}{2} e mínimo local em \displaystyle x=1 . Assista um exemplo em vídeo clicando aqui.