Regra de L’Hospital

Regra de L’Hospital

 

Neste seção apresenta-se uma forma prática de resolver limites indeterminados utilizando derivadas, isto é através da Regra de L’Hospital.

Entretanto, para utilizar esta regras temos que ter as indeterminações dos tipos  \displaystyle\frac{0}{0}  ou  \displaystyle\frac{\pm \infty}{\pm \infty} .

Seja as funções f(x) e g(x) diferenciáveis em  um intervalo aberto que contém a  e que: 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=0 e \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}g(x)=0

ou 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\pm \infty e \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}g(x)=\pm \infty .

Se existe  \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} ou se esse limite for -\infty ou +\infty, então:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} .

Obs: Esta mesma afirmação vale para \displaystyle x\rightarrow a^{-} , \displaystyle x\rightarrow a^{+} , \displaystyle x\rightarrow -\infty ou \displaystyle x\rightarrow +\infty .

Exemplos:

1) \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x}

Este é um dos limites fundamentais, que com o uso Regra de L’Hospital torna-se bem fácil de ser encontrado. Como tem-se:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x}=\frac{0}{0}

e as funções são diferenciáveis podemos usar a regra de L’Hopital, onde obtém-se:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos(x)}{1}=\frac{1}{1}=1.

2) \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{e^{x}}

Como temos uma indeterminação do tipo 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{e^{x}}=\frac{+\infty}{+\infty} 

e as funções são diferenciáveis, podemos usa a regra de L’Hopital, onde obtém-se:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{e^{x}}=\frac{1}{+\infty}=0 .

Assista outros exemplos resolvidos clicando aqui.