Definição formal da função Derivada

Definição formal da função Derivada 

 

Uma função f(x) definida em um intervalo aberto (a,b) é derivável no ponto c\in(a,b) se existir o seguinte limite

{f}'(c)=\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} 

onde {f}'(c) representa a derivada de f(c).

Se a função for derivável em todo os pontos do intervalo, dizemos que f(x) é derivável em (a,b).

De forma equivalente podemos escrever a derivada da seguinte maneira

{f}'(x)=\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},

onde h=x-c, ou também

{f}'(x)=\displaystyle\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} .

Obs: Em outros materiais de estudo você poderá encontrar no lugar de \Delta x um h  e a derivada como:

\displaystyle {f}'(x)=\frac{d f(x)}{dx}=\frac{d}{dx}f(x) .

Acompanhe a resolução de alguns exemplos utilizando a definição formal. Determine a derivada em relação a x das seguintes funções:

Exemplo a) f(x)=3x-2  

Aplicando na fórmula da Definição formal da função Derivada e substituindo \Delta x por h tem-se: 

{f}'(x)=\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(3(x+h)-2)-(3x-2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{3x+3h-2-3x+2}{h}=

\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{3h}{h}=3 .  

Logo,

{f}'(x)=3 . 

Exemplo b) f(x)=x^{2}+2x-3  

Análogo ao exemplo anterior tem-se: 

{f}'(x)=\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}{f}'(x)=\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{((x+h)^{2}+2(x+h)-3)-(x^{2}+2x-3)}{h}=

\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+2x+2h-3-x^{2}-2x+3}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2xh+h^{2}+2h}{h} .

Agrupando e simplificando:

 \displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2xh+h^{2}+2h}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{h(2x+h+2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}(2x+h+2) .  

Por fim, aplica-se o limite:

\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}(2x+h+2)=2x+2 .

Logo,

{f}'(x)=2x+2 .  

Acompanhe também a explicação de Definição formal da função Derivadas em vídeo e outros exemplos clicando aqui.