Exemplos das principais derivadas -

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Exemplos das principais derivadas

Exemplos das principais derivadas

Neste post resolve-se alguns Exemplos das principais derivadas, onde utilizam-se as derivadas apresentadas na Tabela anterior.

Encontre a derivada das seguintes funções:

a) $y=x^{3}sen^{2}(5x)$

Pode-se perceber que esta função e composta pelo produto de dois termos, por isto aplica-se a derivada do produto, onde obtém-se:

$\displaystyle y'=\frac{d}{dx}\Big[x^{3}\Big]sen^{2}(5x)+\frac{d}{dx}\Big[sen^{2}(5x)\Big]x^{3}$ .

Para explicar de forma mais clara, dividi-se esta questão em duas. Na primeira derivada aplica-se a regra da potência

$y'=3x^{2}sen^{2}(5x)$ .

Na segunda deve-se utilizar a regra da cadeia

$\displaystyle y'=2sen(5x)\frac{d}{dx}\Big[sen(5x)\Big]x^{3}$

e, em seguida, fazer uma substituição de variável, $u=5x$ , assim:

$\displaystyle du=5dx\Rightarrow dx=\frac{du}{5}$ .

Substituindo tem-se:

$\displaystyle y'=2sen(5x)\frac{d}{\frac{du}{5}}\Big[sen(u )\Big]x^{3}=10sen(5x)\frac{d}{du}\Big[sen(u )\Big]x^{3}$ .

Aplicando a derivada da função seno presente na tabela e substituindo o valor de u, obtém-se:

$\displaystyle y'=10sen(5x)cos(u)x^{3}=10sen(5x)cos(5x)x^{3}$ .

Para finalizar basta somar as duas partes para encontrar:

$\displaystyle y'=3x^{2}sen^{2}(5x)+10sen(5x)cos(5x)x^{3}$ .

b) $\displaystyle y=cos\big(a^{x^{2}}\big)$

Novamente deve-se utilizar a regra da cadeia:

$\displaystyle y'=-sen\big(a^{x^{2}}\big)\frac{d}{dx}\Big[a^{x^{2}}\Big]$ .

Aplicando a derivada da função exponencial contida na tabela fica-se com:

$\displaystyle y'=-sen\big(a^{x^{2}}\big)a^{x^{2}}\ln a \frac{d}{dx}\Big[x^{2}\Big]$ .

Derivando obtém-se:

$\displaystyle y'=-sen\big(a^{x^{2}}\big) \ a^{x^{2}}\ ln\, a \;2x$ .

c) $\displaystyle y=ln \big(sec(x)\big)$

Aplicando a derivada da função logaritmo natural tem-se:

$\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}\big[sec(x)\big]}{sec(x)}$ .

Aplicando a derivada de secante fica-se com:

$\displaystyle y'=\frac{sec(x)tg(x)\frac{d}{dx}\big[x\big]}{sec(x)}$ .

Aplicando a derivada de x e simplificando obtém-se:

$\displaystyle y'=tg(x)$ .

Veja outros exemplos resolvidos clicando aqui.