Continuidade de uma função

Continuidade de uma função

 

O estudo da Continuidade de uma função está fortemente vinculado com o estudo de limites, pois quando quer-se saber se uma função é continua deve-se analisar também a existência do limite.  

Grosseiramente, pode-se afirmar que uma função é continua quando conseguimos desenhar seu gráfico completo sem tirar o lápis do papel, ou seja, de maneira interrupta.

Ou ainda, quando o gráfico da função não possui quebras ou saltos em todo seu domínio.

 Definição formal:

Uma função f(x) é continua em x=a se as seguintes condições forem satisfeitas:

a) f(a) está definida;


b) \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) existir;


c) \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) .

Caso falhar qualquer uma destas condições, a função f(x) é dita descontínua em       x = a .

Exemplos:

1) Determine se f(x) é continua em x=1 , onde 

Note que a função está definida f(1)=1 . Analisando o limite tem-se: 

\lim\limits_{x\rightarrow 1}\displaystyle \frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{0}{0} .

Abrindo o numerador como o produto da diferença chega-se a:

\lim\limits_{x\rightarrow 1}\displaystyle \frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}(x+1)=2 .

O último passo é conferir \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a).

Nota-se que: 

\lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x)=2\neq 1=f(1) .

Logo, f(x) é descontinua em x=1, conforme vemos no gráfico a seguir.

continuidade

2) Determine se f(x) é continua em x=-1 , onde

A função está definida em x=-1 , pois f(-1)=(-1)^{2}-(-1)-2=0. Calculando o limite, como são funções diferentes vamos usar os limites laterais:

1) Pela direita: \lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}x^{2}-x-2=0 .

2) Pela esquerda: \lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}x+1=0 .

Como os limites laterais são iguais então o limite existe e é igual aos limites laterais, ou seja:

\lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x)=0 .

Por fim, deve-se analisar se a função em x=-1  é igual ao limite neste mesmo ponto, \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a), na qual nota-se que: 

\lim\limits_{x\rightarrow -1}f(x)=f(-1)=0 .

Logo, f(x) é continua em x=-1, como observa-se no gráfico a seguir.

continuidade-2

Caso desejar, assista em vídeo estas explicações clicando aqui, ou também veja outros exemplo clicando aqui.