Demonstração da derivada da função seno
Demonstração da derivada da função seno
Neste post apresenta-se a Demonstração da derivada da função seno. Para isto utiliza-se a definição de derivada:
![\displaystyle\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]=\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cbig%5Bf%28x%29%5Cbig%5D%3D%5Cdisplaystyle%5Clim%5Climits_%7Bh%5Crightarrow+0%7D%5Cfrac%7Bf%28x%2Bh%29-f%28x%29%7D%7Bh%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=1 "\displaystyle\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]=\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}")
Assim, tem-se:
![\displaystyle\frac{d}{dx}\big[sen(x)\big]=\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{sen(x+h)-sen(x)}{h}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cbig%5Bsen%28x%29%5Cbig%5D%3D%5Cdisplaystyle%5Clim%5Climits_%7Bh%5Crightarrow+0%7D%5Cfrac%7Bsen%28x%2Bh%29-sen%28x%29%7D%7Bh%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=1 "\displaystyle\frac{d}{dx}\big[sen(x)\big]=\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{sen(x+h)-sen(x)}{h}")
Aplicando a propriedade trigonométrica da soma de arcos, obtém-se:
O próximo passo é utilizar a propriedade da soma dos limites dividindo o problema em dois limites:
Colocando em evidencia o segundo limite tem-se:
Aplicando no segundo limite o truque matemático de multiplicar o numerador e denominador pela mesma expressão fica-se com:
Fazendo o uso da Identidade Trigonométrica 
Conhecendo a propriedade da multiplicação de Limites pode-se separar os limites da seguinte forma:
Percebe-se que o segundo limite e o quarto são limites fundamentais. Para os demais apenas aplica-se a definição:
