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Demonstração das propriedades de limites – Parte II

Demonstração das propriedades de limites – Parte II

Este é o segundo post em que estamos apresentando a Demonstração das propriedades de limites. Em geral, estas demonstrações não são feitas nas disciplinas de cálculo nos cursos engenharias e, possivelmente, nem nos de matemática, cabendo apenas às disciplinas de análise matemática. Visto que, julgamos importante para uma formação completa dos acadêmicos, daremos continuidades com a propriedade da multiplicação de limites e divisão de limites.

Para iniciar devemos lembrar da definição formal de limite, em que \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L significa que para todo \epsilon>0 existe um \delta>0, tal que

0<|x-a|<\delta implica em \displaystyle |f(x)-L|<\epsilon .

1) Propriedade da multiplicação de Limites

Sejam os limites \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= L e \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)= M, então

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( f(x)\cdot g(x) \right)=\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)\cdot \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)=L\cdot M .  

Demonstração

Pela definição formal de limite temos, dado \epsilon >0, existem \delta_{1}>0 e \delta_{2}>0 tais que

\displaystyle 0<\left |x-x_{0} \right |<\delta_{1}\Rightarrow \left | f(x)-L \right |<\epsilon

e 

\displaystyle 0<\left |x-x_{0} \right |<\delta_{2}\Rightarrow \left | g(x)-M \right |<\epsilon .

Queremos mostrar que 

\displaystyle \left |f(x)g(x)-L\,M \right |<\epsilon .

Assim, tomando \displaystyle \delta=min\{\delta_{1},\delta_{2}\}, onde \displaystyle 0<\left |x-x_{0} \right |<\delta temos 

\displaystyle \left |f(x)g(x)-L\,M \right |=\left |\big (f(x)-L \big )\big (g(x)-M \big )+L\big ( g(x)-M \big )+M\big (f(x)-L \big ) \right |

\displaystyle \leq \left |f(x)-L \right |\left |g(x)-M \right |+\left |L\right |\left | g(x)-M \right |+\left |M\right |\left |f(x)-L \right | .

Nesta última linha aplicamos a desigualdade triangular. Em seguida, basta utilizar as hipóteses dos limites de f(x) e g(x)

\displaystyle \left |f(x)-L \right |\left |g(x)-M \right |+\left |L\right |\left | g(x)-M \right |+\left |M\right |\left |f(x)-L \right |

\displaystyle \leq \epsilon \cdot \epsilon +\left |L\right |\epsilon+\left |M\right |\epsilon=\epsilon \left (\epsilon+\left |L\right |+\left |M\right | \right ) .

Portanto, temos que o limite da multiplicação é equivalente à multiplicação dos limites.

 

2) Propriedade da divisão de Limites

Sejam os limites \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= L e \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)= M para \displaystyle M\neq 0 então

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)} =\frac{L}{M} .

Demonstração

Como acabamos de demonstrar a propriedade do produto dos limites, podemos manipular o limite da seguinte forma

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}\left (f(x)\cdot \frac{1}{g(x)} \right )=L\cdot \frac{1}{M} .

Se mostrarmos que \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{1}{g(x)} =\frac{1}{M} para \displaystyle M\neq 0, concluímos a demonstração.

Dado \displaystyle \epsilon >0, existem \displaystyle \delta_{1}>0 e \displaystyle \delta_{2}>0 tais que

\displaystyle 0<\left |x-x_{0} \right |<\delta_{1}\Rightarrow \left | g(x) \right |>\frac{\left | g(x) \right |}{2}

e 

\displaystyle 0<\left |x-x_{0} \right |<\delta_{2}\Rightarrow \left | g(x)-M \right |<\epsilon .

Assim, tomando o menor valor de delta \displaystyle \delta=min\{\delta_{1},\delta_{2}\}, onde \displaystyle 0<\left |x-x_{0} \right |<\delta , temos

\displaystyle \left |\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M} \right |=\left |\frac{M-g(x)}{g(x)\cdot M} \right | =\frac{\left |M-g(x)\right |}{\left |g(x)\right |\cdot \left |M\right |} 

\displaystyle <\frac{\left |M-g(x)\right |}{\frac{\left |M\right |}{2}\cdot \left |M\right |}=\frac{2}{M^{2}}\left |M-g(x)\right |<\frac{2}{M^{2}}\cdot \epsilon .

Assim concluímos as demonstrações das principais propriedades de limites. Caso você ficou animado e interessado com estas demonstrações mais formais, que na maioria das vezes não consta nas disciplinas de cálculo, recomentamos como leitura livros de Análise Matemática.

Continue seus estudos de limites observando as outras propriedades dos Limites clicando aqui, e se não viu a demonstração da propriedade do limite da soma ou da subtração clique aqui.

Publicado em 05/08/2017, em Limites.