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Exemplos de Máximos e Mínimos de uma função

Exemplos de Máximos e Mínimos de uma função

Neste post apresentam-se Exemplos de Máximos e Mínimos de uma função, primeiramente exemplo teórico e em seguida um exemplo prático de aplicação deste conteúdo.

Exemplo 1: Encontre os pontos de máximos e mínimos da função dada:

f(x)=x^{2}-2x-3 com x \in \mathbb{R} .

Sabemos que f é diferenciável por ser uma função polinomial, assim pode-se derivar e encontrar os pontos críticos da função da seguinte forma:

f'(x)=2x-2 .

Calculando os pontos críticos: 0=2x-2 onde encontramos em x=1. Estudando o sinal antes e depois do ponto crítico tem-se:

f'(0)=2x-2=-2 ;

f'(2)=2x-2=2 .

Como há mudança de sinal pode-se afirmar que este é um ponto de máximo ou mínimo, e ao avaliar os pontos no entorno fica-se com:

f(0)=(0)^{2}-2(0)-3=-3 ;

f(1)=(1)^{2}-2(1)-3=-4 ;

f(2)=(2)^{2}-2(2)-3=-3 .

Assim, concluímos que este é um ponto de mínimo absoluto, visto que ela é continua e não há outros pontos de inflexão. Podemos também concluir que não a pontos de máximo pois a função tende nas suas extremidades para +\infty . 

Exemplo 2: Suponha que o número de bactérias em uma cultura no instante t é dada por \displaystyle N(t)=5000(25+te^{-t/20}) . Ache o maior e o menor número de bactérias durante o intervalo de tempo 0\leq t\leq 100 .

Este exemplo possui domínio fechado. Assim, no cálculo dos máximos e mínimos devemos observar, além dos pontos críticos, os pontos extremos do domínio.

Iniciamos encontrando os possíveis pontos críticos a partir da primeira derivada e igualando a zero, na derivação devemos utilizar a derivada do produto: 

\displaystyle N(t)=5000(25+te^{-t/20})=125000+5000te^{-t/20} ,

\displaystyle N'(t)=5000\left(e^{-t/20}-\frac{te^{-t/20}}{20}\right) .

Em seguida, deve-se igualar a zero,  N'(t)=0 : 

\displaystyle 0=5000\left(e^{-t/20}-\frac{te^{-t/20}}{20}\right)

\displaystyle 0=5000e^{-t/20}\left(1-\frac{t}{20}\right)

\displaystyle 0=1-\frac{t}{20}

\displaystyle \frac{t}{20}=1 \Rightarrow t=20 .

Por fim, deve-se calcular o número de bactérias nos extremos e no ponto crítico. Para assim concluirmos quais são os pontos de máximo e mínimo dentro do intervalo adotado: 

\displaystyle N(0)=5000(25+0\cdot e^{-0/20})=125000 ;

\displaystyle N(20)=5000(25+20\cdot e^{-20/20})=161787,94 ;

\displaystyle N(100)=5000(25+100\cdot e^{-100/20})=128368,97 .

Portanto, temos como o menor número de bactérias 125000 e como o maior número de bactérias 161787,94 no intervalo indicado. O gráfico do número de bactérias em função do tempo é o seguinte: 

Assista um exemplo em vídeo clicando aqui.

Publicado em 16/01/2017, em Derivadas.