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Problemas resolvidos de máximos e mínimos – Exercício resolvido

Problemas resolvidos de máximos e mínimos – Exercício resolvido

No post de hoje daremos continuidade aos Problemas resolvidos de máximos e mínimos. Lembrando que os Problemas de Máximos e Mínimos são uma aplicação do conteúdo de derivadas. Nestes problemas necessitamos encontrar os pontos onde a função dada assume seu maior valor (máximo) ou menor valor (mínimo) em um determinado intervalo.

Problemas de Máximos e Mínimos

Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 Kg. Até agora ele gastou R$380.000,00 para criar os bois e continuara gastando R$ 2,00 por dia para manter cada boi. Os bois aumentam de peso a uma razão de 1,5 Kg por dia. Seu preço de venda, hoje é de R$ 18,00 o quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro? 

No post anterior apresentamos os seis passos para resolver problemas de máximos e mínimos, entretanto, no problema de hoje iniciaremos no segundo passo. Extraindo os dados do problema: 

    • Bois: b=200
    • Peso de cada boi: p=300 Kg
  • Custo até o momento 380.000 reais

Neste tipo de problema em que devemos encontrar o lucro, temos a seguinte relação: 

Lucro = ( peso total dos bois X preço ao Kg ) – custo total da criação

Obtendo cada relação da equação acima separadamente em função de dias, pois o problema nos pede a quantidade de dias para otimizar o lucro.

  • Peso total dos bois:

O problema nos diz que os 200 bois pesam 300Kg cada e engordam 1,5 kg ao dia, assim temos que

peso total dos bois = 200\cdot 300+200\cdot 1,5d .

  • Preço ao Kg

O peso do Kg também está variando conforme o passar dos dias na seguinte relação:

preço ao Kg = 18-0,05d .

  • Custo total da criação

Até o momento o fazendeiro teve um custo de R$ 380000, entretanto a cada novo dia que os bois ficam na fazenda geram mais custos

custo total da criação = 380000+200\cdot 2d . 

Substituindo a equação geral obtém-se a seguinte equação

Lucro = (200\cdot 300+200\cdot 1,5d)\cdot (18-0,05d)-(380000+200\cdot 2d) . 

Realizando todas as operações de multiplicação, soma e subtração da equação acima fica-se com:

Lucro = -15d^{2}+2000d+700000 .

Como queremos saber o lucro máximo, devemos encontrar o ponto onde a função lucro alcança o seu maior valor. Para isto, aplicaremos a derivada e igualamos a zero, pois nos pontos onde a derivada é nula, temos os pontos de máximo e de mínimo.

 0=-30d+2000\Rightarrow d\cong 66,6 .

Portanto, o fazendeiro deve o aguardar 67 dias para maximizar seu lucro.

Caso desejar acompanhe a resolução de outro exemplo em vídeo clicando aqui. 

Publicado em 26/08/2017, em aplicações, Derivadas.