Regra de L’Hospital definição e exemplos resolvidos

Em muitos cálculos de limites nos deparamos com um dos tipos de indeterminação. Assim temos que aplicar alguma técnica para superar esta indeterminação, como por exemplo a fatoração. Entretanto há casos em que não é possível aplicar estas técnicas. Nesses casos devemos recorrer a Regra de L’Hospital, que foi desenvolvida por Bernoulli, entretanto publicada por L’Hospital. Bernoulli percebeu que na vizinhança de um determinado ponto, a razão entre duas funções pode ser comparada com a razão entre suas derivadas, desde que sejam atendidas algumas hipóteses.

Regra de L’Hospital definição

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções contínuas e deriváveis em um intervalo $I$ , com $\displaystyle g'(x)\neq 0$ em todo $x\in I$ . Se

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ ou $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty$

e se existe $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ finito ou infinito então

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ .

Observação: O mesmo vale se $a$ for substituído por $a^{+}$ , $a^{-}$ , $-\infty$ ou $+\infty$ .

Exemplos resolvidos

Determine os limites que seguem:

1) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{4x}-1}{2x}$

O cálculo direto do limite nos dá a forma indeterminada 0/0.

Perceba que as hipóteses necessárias para a aplicação da regra de L’Hospital são satisfeitas .

Então devemos derivar numerador e denominador separadamente, onde obtermos o limite desejado

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{4x}-1}{2x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4e^{4x}}{2}=\frac{4}{2}=2$ .

O caso você tenha dificuldade na derivação, clique aqui e acompanhe a resolução de alguns exemplos passo a passo.

2) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+5x+4}{2x^{2}-x-3}$

O cálculo direto do limite nos dá a forma indeterminada 0/0.

Este exercício é formado por polinômios, então poderíamos aplicar a fatoração nas raízes dele, onde encontraríamos

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+5x+4}{2x^{2}-x-3}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(x+1)(x+4)}{(x+1)(2x-3)}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x+4}{2x-3}=-\frac{3}{5}$ .

Entretanto perceba como é muito mais fácil e rápido aplicar a regra de L’Hospital, em que devemos apenas derivar e aplicar o ponto limite

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+5x+4}{2x^{2}-x-3}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{2x+5}{4x-1}=-\frac{3}{5}$ .

3) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x^{2}}{e^{3x}}$

O cálculo direto do limite nos dá a forma indeterminada $\infty /\infty$ .

Novamente as hipóteses da regra de L’Hospital são satisfeita, assim derivando temos

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x^{2}}{e^{3x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4x}{3e^{3x}}$ .

Observe que temos uma nova indeterminada $\infty /\infty$ . Assim podemos aplicar uma nova vez L’Hospital, visto que as hipóteses ainda são satisfeita

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x^{2}}{e^{3x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4x}{3e^{3x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4}{9e^{3x}}=0$ .

Observação: Podemos aplicar quantas vezes forem necessárias as regra de L’Hospital, desde que as hipóteses sejam satisfeitas.

Acompanhe também explicações e resoluções de outros exemplos em vídeo, clicando aqui.

Publicado em 01/11/2017, em aplicações, Derivadas.

Regra de L’Hospital definição e exemplos resolvidos

Regra de L’Hospital definição e exemplos resolvidos