Regra de L’Hospital definição e exemplos resolvidos

Regra de L’Hospital definição e exemplos resolvidos

 

Regra de L'HospitalEm muitos cálculos de limites nos deparamos com um dos tipos de indeterminação. Assim temos que aplicar alguma técnica para superar esta indeterminação, como por exemplo a fatoração. Entretanto há casos em que não é possível aplicar estas técnicas. 

Nesses casos devemos recorrer a regra de L’Hospital, que foi desenvolvida por Bernoulli, entretanto publicada por L’Hospital. Bernoulli percebeu que na vizinhança de um determinado ponto, a razão entre duas funções pode ser comparada com a razão entre suas derivadas, desde que sejam atendidas algumas hipóteses.

Regra de L’Hospital definição

Sejam f(x) e g(x) duas funções contínuas e deriváveis em um intervalo I, com \displaystyle g'(x)\neq 0 em todo x\in I. Se 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0 ou \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty

e se existe \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} finito ou infinito então

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

Observação: O mesmo vale se a for substituído por a^{+}, a^{-}, -\infty ou +\infty.

Exemplos resolvidos

Determine os limites que seguem:

1)\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{4x}-1}{2x} 

O cálculo direto do limite nos dá a forma indeterminada 0/0.

Perceba que as hipóteses necessárias para a aplicação da regra de L’Hospital são satisfeitas .

Então devemos derivar numerador e denominador separadamente, onde obtermos o limite desejado 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{4x}-1}{2x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4e^{4x}}{2}=\frac{4}{2}=2.

O caso você tenha dificuldade na derivação, clique aqui e acompanhe a resolução de alguns exemplos passo a passo.

2\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+5x+4}{2x^{2}-x-3} 

O cálculo direto do limite nos dá a forma indeterminada 0/0.

Este exercício é formado por polinômios, então poderíamos aplicar a fatoração nas raízes dele, onde encontraríamos 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+5x+4}{2x^{2}-x-3}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(x+1)(x+4)}{(x+1)(2x-3)}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x+4}{2x-3}=-\frac{3}{5}.

Entretanto perceba como é muito mais fácil e rápido aplicar a regra de L’Hospital, em que devemos apenas derivar e aplicar o ponto limite 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+5x+4}{2x^{2}-x-3}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{2x+5}{4x-1}=-\frac{3}{5}

3) \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x^{2}}{e^{3x}} 

O cálculo direto do limite nos dá a forma indeterminada \infty /\infty.

Novamente as hipóteses da regra de L’Hospital são satisfeita, assim derivando temos 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x^{2}}{e^{3x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4x}{3e^{3x}}.

Observe que temos uma nova indeterminada \infty /\infty. Assim podemos aplicar uma nova vez L’Hospital, visto que as hipóteses ainda são satisfeita 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x^{2}}{e^{3x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4x}{3e^{3x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4}{9e^{3x}}=0.

Observação: Podemos aplicar quantas vezes forem necessárias as regra de L’Hospital, desde que as hipóteses sejam satisfeitas. 

Acompanhe também explicações e resoluções de outros exemplos em vídeo, clicando aqui

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Publicado em 01/11/2017, em aplicações, Derivadas.