Taxas relacionadas explicação e exemplo resolvido

Taxas relacionadas explicação e exemplo resolvido

 

O ser humano está sempre na busca de descrever o comportamento dos fenômenos físicos que o cercam. Em geral, começam descrevendo problemas mais simplificados, ou seja, desprezando algumas variáveis menos relevantes e, em seguida, gradativamente são acrescidas novas variáveis até chegar o mais próximo possível da realidade. Neste contexto temos as Taxas relacionadas, que são as relações estabelecidas entre as várias Taxas de variação de um determinado fenômeno físico. 

Mas o que são taxas de variação?

Na matemática, taxa de variação é a variação de uma determinada grandeza em função de outra variável. Por exemplo, a velocidade é a taxa de variação da distância em função do tempo.

Entretanto, temos mais que um tipo de taxas de variação, por exemplo:

  • taxa de variação média que é a variação média entre os valores iniciais e finais.
  • taxa de variação instantânea que é a variação de uma grandeza em um determinado momento do fenômeno. 

Nosso interesse neste post está nas taxas de variação instantânea, que são expressas através das derivadas (clique aqui para uma descrição detalhada).

Taxas relacionadas

As taxas relacionadas são um conjunto de taxas de variação instantânea que estão ligadas entre si por uma mesma variável independente.  Por exemplo, na equação

\displaystyle L(p)=R(p)-C(p) ,

que expressa o lucro através da receita menos o custo, onde todas elas estão em função da variável produto. Assim, a taxa de variação do lucro em função do número de produtos produzidos está relacionada com a taxa de variação da receita e do custo.

Ou ainda, o exemplo clássico de taxas relacionadas, que é o escoamento de um reservatório com um formato de um cone invertido, em que volume, a altura e o raio são funções que dependem do tempo e estão relacionadas pela equação do volume.

Exemplo resolvido de Taxas relacionadas 

Uma piscina foi construída com as seguintes dimensões: 5m de largura, 8m de comprimento e 2m de profundidade no lado mais fundo e 1m no lado mais raso, conforme figura abaixo. A piscina está sendo enchida com uma mangueira que tem uma vasão de 3000 litros por hora, então qual a velocidade com que o nível de água está subindo quando a profundidade no lado mais fundo é de 80cm?

Taxas relacionadas

Iniciamos descrevendo a equação que expressa o volume de água na piscina em função da altura. Na parte plana da piscina temos um formato paralelepípedo. Assim, o volume é dado por:

\displaystyle V_{p1}(h)=5\cdot 3\cdot h=15h .

A parte inclinada é um pouco mais complicada, mas usando a semelhanças de triângulos

\displaystyle \frac{1}{h}=\frac{5}{c} ,

obtemos 

\displaystyle V_{p2}(h)=5\cdot \frac{h\cdot c}{2}=\frac{25}{2}h^{2}

Somando ambas expressões temos 

\displaystyle V(h)=15h+\frac{25}{2}h^{2} .

Atenção: estamos calculando o volume apenas para alturas entre 0 e 1m. Caso necessite para alturas a cima de 1m a equação do volume deve ser alterada.

Derivando implicitamente a equação do volume em relação ao tempo t, temos

\displaystyle \frac{dV}{dt}=(15+25h)\frac{dh}{dt} .

Substituindo pelas informação dada no problema, tomando o cuidado da transformação das unidades de medida \displaystyle \frac{3000l}{h}=\frac{3m^{3}}{h}, temos 

\displaystyle 3=(15+25\cdot 0,8)\frac{dh}{dt} 

\displaystyle \frac{dh}{dt}\approx 0,086 .

Portanto, o nível de água está subindo a uma taxa aproximada 0,086 metros por hora quando está a uma altura de 0,8 metros.

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Publicado em 07/10/2017, em aplicações, Derivadas.