Função exponencial

Função Exponencial: o que é, definição, propriedades e exemplos

A função exponencial é fundamental na matemática e aparece em diversos contextos, como crescimento populacional, juros compostos e processos físicos. Neste artigo, exploraremos suas definições, propriedades e aplicações práticas.

Definição

Dado um número real $a$ , tal que $0<a \neq 1$ , chamamos de função exponencial de base a a função $f$ de $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que associa a cada $x$ real o número $a^x$ .

Em símbolos:

$f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ,

$x \mapsto a^x$ .

Exemplo de funções exponenciais:

a) $f(x)=3^x$

b) $f(x)=(\frac{1}{2})^x$

c) $f(x)=\bigl(\sqrt{5}\bigr)^x$

d) $f(x)=e^x$

Propriedade 1:

Na função exponencial $f(x) = a^x$ , temos

(1) $\begin{equation*}f(0) = a^0 = 1.\end{equation*}$

Veja demonstração intuitiva aqui.

Isso quer dizer que, o par ordenado $(0, 1)$ pertence a função para todo $a \in R_+^∗-{1}$ . Em outras palavras, o gráfico da função exponencial simples corta o eixo $y$ no ponto ordenada $1$ como mostra a seguinte figura.

Propriedade 2:

A função exponencial $f(x)=a^x$ , é crescente ou decrescente se, e somente se $a>1$ ou $0<a<1$ . Portanto, dado os reais $x_1$ e $x_2$ , temos:

I) Crescente para $a>1$ :

$x_1<x_2\implies f(x_1)<f(x_2)$

veja o exemplo na seguinte imagem:

II) Decrescente para $0<a<1$ :

$x_1<x_2\implies f(x_1)>f(x_2)$

veja o exemplo na seguinte imagem:

Propriedade 3:

3) A função exponencial $f(x)=a^x$ , com $0<a \neq 1$ , é injetora, pois, dados $x_1$ e $x_2$ tais que $x_1 \neq x_2$ por exemplo $x_1<x_2$ , vem:

I) Se $a>1$ , temos: $f(x_1 )<f(x_2 )$ ;

I) Se $0<a≠1$ , temos: $f(x_1 )>f(x_2)$ .

Em outras palavras, é uma função que não repete valores de imagem

📌 Aplicações da Função Exponencial na Vida Real

A função exponencial não é apenas um conceito teórico — ela aparece em diversas áreas da matemática aplicada e da vida cotidiana. Veja alguns exemplos:

Finanças: é usada para calcular juros compostos, crescimento de investimentos e evolução de dívidas ao longo do tempo;
Biologia: modela o crescimento populacional de organismos e a disseminação de vírus;
Física e Química: aparece em processos como decaimento radioativo e resfriamento de corpos;
Tecnologia: descreve o crescimento exponencial de dados em algoritmos e inteligência artificial;
Engenharia e Demografia: é usada para prever o crescimento de cidades e demandas de energia.

Por isso, entender a função exponencial é fundamental não só para provas e vestibulares, mas também para compreender o mundo ao nosso redor — onde o crescimento rápido e os processos contínuos estão presentes em diversas situações.

Baixe de forma gratuita nossos Ebooks e treinamentos