Continuidade de uma função

O estudo da Continuidade de uma função está fortemente vinculado com o estudo de limites, pois quando quer-se saber se uma função é continua deve-se analisar também a existência do limite.

Grosseiramente, pode-se afirmar que uma função é continua quando conseguimos desenhar seu gráfico completo sem tirar o lápis do papel, ou seja, de maneira interrupta.

Ou ainda, quando o gráfico da função não possui quebras ou saltos em todo seu domínio.

Definição formal:

Uma função $f(x)$ é continua em $x=a$ se as seguintes condições forem satisfeitas:

a) $f(a)$ está definida;

b) $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ existir;

c) $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ .

Caso falhar qualquer uma destas condições, a função $f(x)$ é dita descontínua em $x$ = $a$ .

Exemplos:

1) Determine se $f(x)$ é continua em $x=1$ , onde

Continuidade 0

Note que a função está definida $f(1)=1$ . Analisando o limite tem-se:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\displaystyle \frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{0}{0}$ .

Abrindo o numerador como o produto da diferença chega-se a:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\displaystyle \frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}(x+1)=2$ .