Resolvendo a integral exp(tg(x))sec²x usando Integração por Substituição
Neste post resolveremos a integral exp(tg(x))sec²x utilizando a técnica de Integração por Substituição. Lembrando que recentemente publicamos uma ideia inicial da Integração por Substituição, como sendo a antiderivada da Regra da cadeia.
Dica: se você ao observar uma integral perceber que o integrando pode ser separado em dois termos e que a derivada de um deles é semelhante ao outro, possivelmente a metodologia a ser utilizada é a Integração por Substituição.
Resolvendo a integral
À primeira vista, esta integral até pode assustar, mas ao definir certo qual termo utilizaremos como u, ela se torna fácil. Lembre da dica que dissemos a cima sobre o integrando ser separado em duas partes. Sabemos que muitos alunos ainda não tem gravados na memoria as derivadas das funções tangente e secante. Uma vez que as utilizamos com pouca frequência.
Entretanto, observe que a derivada da função tangente é semelhante ao outro termo do integrando.
![\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg[tg(x)\bigg]=sec^2(x)](https://www.dicasdecalculo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-db0ff2edd0bc1d1f7ac85e81dbab0f89_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Assim, quando substituímos 
e derivando ambos os lados
![\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigg[tg(x)\bigg]=sec^2(x)](https://www.dicasdecalculo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a4465f28d42b96847cf5bd876f5df95a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Substituindo na integral original obtém-se
assim chega-se a uma integral imediata. Ao aplicar a integral teremos
.
Por fim, substituindo a expressão referente a u chega-se a solução da integral
.
Portanto,
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