Integração por Substituição Trigonométrica

O método da Integração por Substituição Trigonométrica é utilizado para resolver integrais em que seu integrando contém uma destas três expressões algébricas:

$\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ , $\displaystyle \sqrt{a^{2}+x^{2}}$ ou $\displaystyle \sqrt{x^{2}-a^{2}}$

onde a é uma constante positiva. O método tem como base a substituição destas expressões algébricas por expressões trigonométricas. Por sua vez, as expressões trigonométricas são encontradas nos triângulos retângulos através do Teorema de Pitágoras. Onde seus lados são a, x e o termo raiz, que conforme o caso, assume diferentes lados do triângulo.

Em primeiro lugar, queremos apresentar os 3 casos das expressões algébricas e para cada uma deles, as relações necessárias para substituição, que são a variável x, o termo dx e o termo raiz. Em seguida, resolveremos alguns exemplos.

Tipo 1: $\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}$

Integração por Substituição Trigonométrica - Tipo 1

No primeiro tipo, utilizamos a relação trigonométrica do seno. Assim,

$\displaystyle x=a\cdot sen(\theta )$

e derivando

$\displaystyle dx=a\cdot cos(\theta )d\theta$ .

Entretanto, para o radical termos que utilizar a relação cosseno

$\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cdot cos(\theta )$ .

Tipo 2: $\displaystyle \sqrt{a^{2}+x^{2}}$

Integração por Substituição Trigonométrica - Tipo 2

No segundo tipo, utilizamos a relação trigonométrica da tangente. Assim sendo, temos

$\displaystyle x=a\cdot tg(\theta )$

e derivando

$\displaystyle dx=a\cdot sec^{2}(\theta )d\theta$ .

Entretanto, para o radical termos que utilizar a relação secante, que é 1 sobre cosseno

$\displaystyle \sqrt{a^{2}+x^{2}}=a\cdot sec(\theta )$ .

Tipo 3: $\displaystyle \sqrt{x^{2}-a^{2}}$

Integração por Substituição Trigonométrica - Tipo 3

No terceiro tipo, utilizamos a relação trigonométrica do secante. Dessa forma, temos

$\displaystyle x=a\cdot sec(\theta )$

e derivando

$\displaystyle dx=a\cdot sec(\theta )\cdot tg(\theta )d\theta$ .

Entretanto, para o radical termos que utilizar a relação tangente

$\displaystyle \sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\cdot tg(\theta )$ .

Exemplos resolvidos de Integração por Substituição Trigonométrica

Resolva as seguintes integrais:

1) $\displaystyle \int\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}dx$ .

Antes de tudo, devemos identificar qual tipo de relações que devemos utilizar. Neste caso, o termo raiz é do primeiro tipo, então

$\displaystyle x=3sen(\theta )$ .

Visto que o denominador é dado por $\displaystyle x^{2}$ , precisamos elevar a expressão anterior ao quadrado, assim

$\displaystyle x^{2}=9sen^{2}(\theta )$ .

Precisamos também da derivada

$\displaystyle dx=3cos(\theta )d\theta$

e do termo raiz

$\displaystyle \sqrt{9-x^{2}}=3cos(\theta )$ .

Obtido todos os termos necessários, devemos substituir

$\displaystyle \int\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}dx=\int \frac{3cos(\theta )}{9sen^{2}(\theta )}3cos(\theta )d\theta=\int \frac{cos^{2}(\theta )}{sen^{2}(\theta )}d\theta$ .

Relembre que

$\displaystyle \frac{cos^{2}(\theta )}{sen^{2}(\theta )}=cotg^{2}(\theta )=cossec^{2}(\theta )-1$ ,

fizemos esta última igualdade, pois a integral de cossecante ao quadrado é tabelada. Assim

$\displaystyle \int\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}dx=\int cossec^{2}(\theta )-1d\theta$

Integrando teremos

$\displaystyle \int cossec^{2}(\theta )-1d\theta=-cotg(\theta )-\theta +C$ .

Como

$\displaystyle cotg(\theta )=\frac{cos(\theta )}{sen(\theta )}=\frac{\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}}{\frac{x}{3}}=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x}$

$\displaystyle sen(\theta )=\frac{x}{3}\Rightarrow \theta=arcsen\bigg (\frac{x}{3}\bigg )$ ,

ao substituir obtemos a resposta desejada

$\displaystyle \int\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}dx=-\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x}-arcsen\bigg (\frac{x}{3}\bigg )+C$ .

Os exemplos dos tipos 2 e 3 serão apresentados nos próximos post. Caso já queira ir resolvendo eles serão os seguintes:

Integração por Substituição Trigonométrica

Integração por Substituição Trigonométrica

Tipo 1: $\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}$

Tipo 2: $\displaystyle \sqrt{a^{2}+x^{2}}$

Tipo 3: $\displaystyle \sqrt{x^{2}-a^{2}}$

Exemplos resolvidos de Integração por Substituição Trigonométrica

1) $\displaystyle \int\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}dx$ .

2) $\displaystyle \int\sqrt{x^{2}+4}dx$

3) $\displaystyle \int\frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-9}}dx$

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Integração por Substituição Trigonométrica

Tipo 1:

Tipo 2:

Tipo 3:

Exemplos resolvidos de Integração por Substituição Trigonométrica

1).

2)

3)

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Tipo 1: $\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}$

Tipo 2: $\displaystyle \sqrt{a^{2}+x^{2}}$

Tipo 3: $\displaystyle \sqrt{x^{2}-a^{2}}$

1) $\displaystyle \int\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}dx$ .

2) $\displaystyle \int\sqrt{x^{2}+4}dx$

3) $\displaystyle \int\frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-9}}dx$