Limites Fundamentais

Neste post apresentam-se os Limites Fundamentais e suas demostrações, visto que eles aparecem com frequência na resolução dos exercícios.

1º Limite Fundamental

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x}=1$ .

Para demostrar este limite utiliza-se a figura abaixo, na qual contém um setor circular de raio 1 e dois triângulos com um dos seus ângulos internos medindo $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ (em radianos).

Facilmente percebe-se que:

$\overline{AC}\leq B\hat{O}C\leq \overline{BD}$

Abstraindo:

1) Considerando o triângulo menor temos:

$\displaystyle sen(x)=\frac{\overline{AC}}{\overline{OC}}=\frac{\overline{AC}}{1}$

então:

$\overline{AC}=sen(x)$ ;

2) Como temos um ângulo de $x$ radianos, arco circular de raio 1 e sabendo que uma volta completa possui $2\pi$ radianos com comprimento $2\pi r$ , então ao fazer uma regra de três obtemos

$B\hat{O}C=x$ ;

3) Considerando o triângulo maior temos:

$\displaystyle tg(x)=\frac{\overline{BD}}{\overline{OB}}=\frac{BD}{1}$ .

Então:

$\overline{BD}=tg(x)$ .

Substituindo tem-se:

$sen(x)\leq x\leq tg(x)$ .

Dividindo todos os termos por $sen(x)$ obtém-se:

$\displaystyle 1 \leq \frac{x}{sen(x)}\leq \frac{1}{cos(x)}$ .

Invertendo todas as frações fica-se com:

$\displaystyle 1 \geq \frac{sen(x)}{x}\geq cos(x)$

e aplicando o limite em todos os termos quando $x\rightarrow 0$

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 0}1\geq \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x}\geq \lim\limits_{x\rightarrow 0}cos(x)$ .

Assim, tem-se:

$\displaystyle 1\geq \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x}\geq 1$

e pela Propriedade dos Limites nº 11 chega-se a

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x}=1$ .

Caso queira, você poderá acompanha uma outra demostração deste limite fundamental e um exemplo utilizando ele clicando aqui.

2º Limite Fundamental

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$

Seja a expansão binominal dada por:

$\displaystyle \left(a+b\right)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+\left(\frac{n(n-1)}{2!}\right)a^{n-2}b^{2}+$ [latex size=”25″]\displaystyle +\left(\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\right)a^{n-3}b^{3}+\cdots+nab^{n-1}+b^{n}[/latex] .

Então, tem-se:

$\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=1+1+\frac{n(n-1)}{n^{2}}\frac{1}{2!}+$
$\displaystyle+\frac{n(n-1)(n-2)}{n^{3}}\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{n!}{n^{n}}\frac{1}{n!}$ .

Quando aplica-se o limite $n\rightarrow \pm \infty$ tem-se:

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}=e$ .

Logo, chega-se ao limite que queríamos mostrar

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$ .

Obs: Deste mesmo limite fundamental apenas fazendo uma troca de variável chega-se a:

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim\limits_{t\rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$ .

Caso queira, você poderá acompanha uma outra demostração deste limite fundamental clicando aqui.

3º Limite Fundamental

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a$

Inicia-se esta demonstração fazendo uma troca de variáveis $t=a^{x}-1\therefore a^{x}=t+1$ e quando $x\rightarrow 0$ também $t\rightarrow 0$ .

Deve-se também encontrar uma expressão em $t$ que seja igual a $x$ para substituir quando faz-se a troca de variáveis. Assim, aplicando o logaritmo neperiano tem-se:

$\displaystyle a^{x}=t+1\Rightarrow \ln a^{x}=\ln(t+1)\Rightarrow$ ;

$\displaystyle x\ln a=\ln(t+1)\Rightarrow x=\frac{\ln(t+1)}{\ln a}$ .

Logo, escreve-se:

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{t}{\frac{\ln(t+1)}{\ln a}}$ .

Aplicando as Propriedade dos Limites obtém-se:

$\displaystyle \lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{t}{\frac{\ln(t+1)}{\ln a}}=\ln a\cdot \lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{t}{\ln(t+1)}\Rightarrow \ln a\cdot \lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{\ln(t+1)}{t}}$ .

Utilizando as propriedades dos logaritmos tem-se:

$\displaystyle \ln a\cdot \lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{\ln(t+1)^{\frac{1}{t}}} \Rightarrow \ln a\cdot \frac{\lim\limits_{t\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{t\rightarrow 0} \ln(t+1)^{\frac{1}{t}}}$ .

Segundo a Propriedade dos Limites nº 9, pode-se inverter a ordem do limite com a do logaritmo. Assim, fica-se com:

$\displaystyle \ln a\cdot \frac{\lim\limits_{t\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{t\rightarrow 0} \ln(t+1)^{\frac{1}{t}}}=\ln a\cdot \frac{1}{\ln \lim\limits_{t\rightarrow 0}(t+1)^{\frac{1}{t}}}$ .

Aplicando o 2º Limite Fundamental como vimos acima tem-se:

$\displaystyle \ln a\cdot \frac{1}{\ln e}=\ln a\cdot \frac{1}{1}=\ln a$ .

Portanto,

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a$ .

Dê continuidade nos teus estudos acompanhando a resolução de alguns exercícios em que utiliza este Limites Fundamentais, clique aqui.

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