Demonstração da propriedade da derivada da divisão

Neste post apresenta-se a Demonstração da propriedade da derivada da divisão. Em outros materiais esta propriedade é chamada de derivada do quociente.

Se as funções $f(x)$ e $g(x)$ possuírem derivadas no intervalo aberto $(a,b)$ sendo $g(x)\neq 0$ , então a função $\displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ possui derivada em $(a,b)$ e ela é dada por:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\Big[h(x)\Big]=\frac{d}{dx}\Bigg[\frac{f(x)}{g(x)}\Bigg]=\frac{g(x)\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]-f(x)\frac{d}{dx}\big[g(x)\big]}{g(x)^{2}}$ .

Sabendo que $\displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ , então tem-se $\displaystyle f(x)=h(x)\cdot g(x)$ e utilizando a propriedade da derivada do produto fica-se com:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[f(x)\big]=g(x)\cdot\frac{d}{dx}\big[h(x)\big]+h(x)\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big]$ .

Reorganizando os termos obtém-se:

$\displaystyle g(x)\cdot\frac{d}{dx}\big[h(x)\big]=\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]-h(x)\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big]$ .

Ao substituir $\displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ tem-se:

$\displaystyle g(x)\cdot\frac{d}{dx}\Bigg[\frac{f(x)}{g(x)}\Bigg]=\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]-\frac{f(x)}{g(x)}\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big]=$

$\displaystyle g(x)\cdot\frac{d}{dx}\Bigg[\frac{f(x)}{g(x)}\Bigg]=\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]-\frac{f(x)\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big]}{g(x)}$ .

Dividindo toda expressão por $g(x)$ e manipulando-a chega-se a propriedade desejada:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigg[\frac{f(x)}{g(x)}\Bigg]=\frac{\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]}{g(x)}-\frac{f(x)\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big]}{g(x)^{2}}=$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigg[\frac{f(x)}{g(x)}\Bigg]=\frac{g(x)\cdot\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]-f(x)\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big]}{g(x)^{2}}$ .

Acompanhe a resolução de um exemplo em que utiliza esta propriedade, clicando aqui.

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