Um dos resultados mais curiosos e frequentemente questionados pelos alunos ao estudar funções exponenciais é o valor de uma potência com expoente zero. Afinal, se elevar um número a uma potência significa multiplicá-lo várias vezes, como pode ser que “nenhuma multiplicação” resulte em ?

Neste post, vamos apresentar uma explicação intuitiva e consistente com as regras da matemática para entender por que qualquer número elevado a zero é igual a . Essa ideia não surge por acaso — ela é uma consequência natural das propriedades das potências. Vamos analisar o comportamento da função exponencial e observar um padrão que justifica essa definição.

Explicação intuitiva:

Dado um número qualquer , temos que

Sabemos que:

Logo temos que

Por que qualquer número elevado a zero é igual a 1?

A razão pela qual qualquer número real (exceto zero) elevado a zero é igual a 1 tem base em regras fundamentais da aritmética de potências e na coerência matemática. Nesse sentido, vamos entender isso passo a passo, de maneira lógica e acessível.

1. Regra das potências com mesma base

Primeiramente, considere uma das propriedades mais importantes das potências:

Essa regra é válida para qualquer número real e quaisquer expoentes e . Agora, se considerarmos o caso em que , temos:

Por outro lado, sabemos que qualquer número (exceto o zero) dividido por ele mesmo é igual a 1. Portanto, isso implica diretamente que:

2. Padrão observado ao diminuir o expoente

Vamos agora observar um padrão numérico usando a base 2, o que torna a ideia ainda mais intuitiva:

Nesse caso, a cada vez que reduzimos o expoente em 1 unidade, o resultado é dividido por 2. Veja:

Portanto, para manter a coerência dessa sequência, devemos concluir que:

Esse mesmo raciocínio vale para qualquer base positiva diferente de zero. Ou seja, o comportamento é geral.

3. Interpretação com função exponencial contínua

Além disso, podemos considerar a função exponencial , que é amplamente usada em matemática e ciências aplicadas. Para que essa função seja contínua e bem comportada no ponto , ela deve satisfazer o seguinte limite:

Assim, a definição é coerente também com a continuidade da função, além de ser útil para manter propriedades fundamentais da matemática.

4. E quanto a ?

Agora, vale destacar uma exceção importante: a expressão . Em muitos contextos, como na análise matemática, ela é considerada indeterminada. Contudo, em outras áreas, como a combinatória e o desenvolvimento de séries de potências, define-se frequentemente por conveniência prática.

Em resumo, o valor de depende do contexto em que está sendo usado.

Conclusão

Portanto, essa definição não apenas mantém a coerência das propriedades das potências, como também facilita o uso da matemática em diferentes contextos. Além disso, ela garante a continuidade das funções exponenciais e torna mais fácil o desenvolvimento de teorias algébricas e computacionais.

Referências

1. Wikipedia – Potência (matemática)
   ➤ https://pt.wikipedia.org/wiki/Potência_(matemática)
   Âncora sugerida: “definição formal de potência na matemática”
2. Khan Academy – Propriedades das potências
   ➤ https://pt.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:exponents
   Âncora sugerida: “aulas gratuitas sobre expoentes”
3. Wolfram MathWorld – Exponentiation (em inglês)
   ➤ https://mathworld.wolfram.com/Exponentiation.html
   Âncora sugerida: “tratamento formal da exponenciação”
4. https://www.dicasdecalculo.com.br/propriedades-das-potencias
5. https://www.dicasdecalculo.com.br/funcao-exponencial
6. https://www.dicasdecalculo.com.br/exercicios-potencias

O post Por que qualquer número elevado a zero é igual a 1? apareceu primeiro em Dicas de Cálculo.

Imagine dedicar décadas da sua vida à resolução dos mistérios mais profundos da matemática.
Agora imagine que, como resultado, seu trabalho transforme a forma como o mundo enxerga a ciência.

Foi exatamente isso que aconteceu com o matemático japonês Masaki Kashiwara, homenageado com o Prêmio Abel 2025, conhecido como o “Nobel da Matemática”, ou prêmio (medalha) Fields.

Para saber mais sobre a história e importância do Prêmio Abel na Wikipédia, você pode conferir a lista completa de laureados e suas contribuições.
Além de um reconhecimento individual, o prêmio valoriza o impacto duradouro de sua obra na ciência moderna.

🧬 Quem é o matemático japonês premiado?

Embora nomes como Kazuya Kato e Shinichi Mochizuki já tenham ganhado destaque no cenário internacional, o premiado de 2025 reforça a tradição do Japão em formar mentes brilhantes na matemática. Sua formação acadêmica exemplar, pesquisa interdisciplinar e impacto internacional foram fundamentais para a conquista do prêmio Fields.

🔗 Saiba mais sobre a Medalha Fields, seu histórico e critérios.

🏆 O que é o Prêmio Fields?

Criado em 1936, o prêmio Fields homenageia matemáticos que demonstram genialidade e originalidade. Mais do que uma medalha, ele representa a consagração de ideias que mudam a forma como entendemos o mundo.

🔗 Visite o site oficial da IMU – International Mathematical Union para detalhes sobre o prêmio.

🔍 A genialidade de Kashiwara em ação

Masaki Kashiwara não apenas resolveu problemas complexos. Pelo contrário, ele criou novas linguagens matemáticas que hoje são essenciais para o avanço científico.

A lógica rigorosa presente no trabalho do matemático premiado reflete princípios fundamentais do raciocínio lógico, como discutido em nosso artigo sobre Raciocínio Lógico para Concursos – Parte I.

Por isso, seus estudos se tornaram verdadeiras pontes entre áreas distintas como geometria algébrica, física teórica, análise microlocal e teoria dos módulos D.

Como consequência, suas ferramentas permitiram avanços em diversas frentes — desde a mecânica quântica até a inteligência artificial.

📚 O que torna seu trabalho tão extraordinário?

Além de ser uma mente teórica rara, Kashiwara contribuiu com pilares que sustentam parte da matemática moderna.
Veja alguns dos seus feitos mais impactantes:

• 🧩 Fundador da teoria dos módulos D: transformou o estudo das equações diferenciais.
• 🔬 Pioneiro na análise microlocal: ampliou nossa capacidade de examinar soluções matemáticas em regiões “singulares”.
• ⚛️ Aplicações diretas na física matemática: colaborou com estruturas fundamentais de partículas e campos quânticos.

Logo, sua obra não ficou restrita ao papel. Na prática, ela ecoa até hoje nos bastidores da ciência aplicada.

💬 Por que isso importa para você?

Você pode não perceber, mas muito do que usamos diariamente — algoritmos, segurança digital, redes sociais — depende de conceitos criados ou aprimorados por cientistas como Kashiwara.
Portanto, mesmo quem não se interessa por matemática diretamente, se beneficia das descobertas vindas dela.

Em outras palavras, a matemática é o código-fonte da realidade.
E pessoas como ele são os verdadeiros arquitetos dessa linguagem.

“Pensar profundamente é mais poderoso do que reagir rapidamente.”

Assim, para se aprofundar nos tipos de raciocínio utilizados em demonstrações matemáticas, confira nossa Análise de uma Proposição Lógica.

🧠 Conclusão: O legado de uma mente que rompeu fronteiras

Esse matemático japonês que ganhou o prêmio Fields, nos lembra que a matemática vai além dos números. Ela é uma linguagem universal — que revela o invisível, conecta ideias e transforma o mundo.

Nesse sentido, o Prêmio Abel 2025 não é apenas uma homenagem. É um sinal de que pensar com profundidade, dedicação e propósito ainda pode mudar o curso da ciência.

E quem sabe? Talvez esse seja o empurrão que faltava para você se inspirar também.

📚 Referências Recomendadas e Leituras Complementares

Para quem deseja se aprofundar na trajetória do matemático japonês e na importância dos prêmios internacionais de matemática, seguem algumas fontes confiáveis:

• Página oficial do Prêmio Abel: abelprize.no
  Informações completas sobre o prêmio, os laureados e os critérios de seleção.
• União Matemática Internacional (IMU): mathunion.org
  Detalhes sobre a Medalha Fields, seus vencedores e a história do prêmio.
• Wikipedia – Medalha Fields: pt.wikipedia.org/wiki/Medalha_Fields
  Uma visão geral histórica e lista de ganhadores.
• Perfil do matemático no MathGenealogy (se existir): mathgenealogy.org
  Linha acadêmica, orientadores e orientados do matemático premiado.
• Notícia internacional (BBC, Nature ou The Guardian):
  Exemplo: BBC News sobre o Prêmio Abel
• Universidade de Kyoto (ou a instituição afiliada): kyoto-u.ac.jp
  Página institucional com informações sobre pesquisas e professores.

O post 🧠 “O Gênio do Século”: Matemático japonês recebe o maior prêmio da área apareceu primeiro em Dicas de Cálculo.

Neste post realizaremos a Análise de uma proposição lógica composta.  Na qual, o exercício nos dá uma proposição composta formada por duas proposição simples ligadas pelo conectivo lógico condicional. Ademais, nos diz que a proposição simples da hipótese é falsa.

Analise o valor lógico da proposição composta dada

(INSS 2016 Técnico) Julgue o item a seguir se verdadeiro ou falso.

(  ) Caso a proposição simples “Aposentados são idosos” tenha valor lógico falso, então o valor lógico da proposição “Aposentados são idosos, logo eles devem repousar” será falso. 

Resolução:

Primeiramente, reescrevemos as duas proposições simples que compõem a sentença apresentada:

: Aposentados são idosos.

: Eles (aposentados) devem repousar.

Em seguida, observamos que elas são ligadas pela palavra “logo“, em que podemos substituir pela palavra “então“, o que nos remete a um condicional do tipo: “SE …ENTÃO…” () . Além disso, a questão também nos diz que : Aposentados são idosos tem valor lógico FALSO (F).

Assim, como já foi dito no post anterior, um condicional somente será FALSO (F) se a primeira proposição (hipótese) for verdadeira e a segunda (tese) for falsa. Dessa forma, como temos que (p) tem valor lógico FALSO (F), independe do valor lógico da tese (q), o resultado sempre será VERDADEIRO (V).  Assim, preenchendo a tabela verdade temos:

Tabela verdade para

F	F	V
F	V	V
V	F	F
V	V	V

Portanto, nas duas possibilidades em que a hipótese é falsa, ou seja, as duas primeiras linhas, temos a sentença verdadeira. Assim, o Item está Errado.

Ademais, acompanhe outros exercícios de raciocínio lógico clicando aqui ou tabela verdade aqui. Ou melhor ainda, adquira nosso Treinamento Completo de Raciocínio Lógico com 145 páginas de questões resolvidas e comentadas das principais bancas de concurso do Brasil (Cespe, FCC, ESAF).

O post Análise de uma proposição lógica: exercício resolvido apareceu primeiro em Dicas de Cálculo.

Atualmente representa-se uma função por meio de tabelas, formas gráficas ou verbalmente, mas nunca pensamos quantos grandes homens precisaram contribuir para que o conceito de função fosse construído.

Na antiguidade o homem precisava controlar os objetos e os animais.  Para isso associava seu rebanho a pequenas pedras, uma para cada animal. Assim, se estabelece uma relação de dependência entre as pedras e os animais.

Esse processo contribuiu para a criação da contagem. O ato de contar podia ser facilmente realizado com os dedos permitindo a contagem até 20, caso se utilizassem os pés também.

No entanto, para contagens maiores era comum utilizar pedras, bastões e até ossos. 

 Tábuas dos Babilônios

Ainda neste período percebemos que estas associações ocorreram de diversas maneiras:  os babilônicos, por exemplo, utilizavam as tábuas. Esse instrumento era composto por valores numéricos organizados em uma tabela que apresentavam relações entre duas colunas.

Geralmente a segunda coluna era o resultado de uma operação utilizando as quantidades da primeira. Por exemplo, uma tabela com o quadrado dos números. Na primeira coluna estavam quaisquer números e na segunda coluna o seu quadrado.

Ou seja, o número 1 na primeira coluna e na segunda o seu quadrado 1; depois apareceria o 2 e o seu quadrado 4; o 3 e seu quadrado 9 e assim sucessivamente.

Essa correspondência entre dois valores é conhecida como relação funcional, na qual um determinado valor tem outro valor correspondente a ele foi a partir dessa ideia que surgiu a função.

 No século 2 a ideia de função também aparece na obra  Almagesto do matemático grego Cláudio Ptolomeu.

Almagesto 

É um tratado matemático e astronômico escrito no século II por Cláudio Ptolomeu. A obra, escrita em grego, adota o modelo geocêntrico para o sistema solar, além de conter um extenso catálogo estelar.

Em seu trabalho, Ptolomeu desenvolveu tabelas trigonométricas para serem utilizadas na astronomia. As ideias sobre o conceito são encontrados também nas obras dos matemáticos gregos Apolônio de Perga e Arquimedes.

Embora os trabalhos dos dois fossem mais voltados para a geometria, percebemos como a noção intuitiva de função já aparece aqui.

A história do conceito de função possui muitas reviravoltas, o que justifica as inúmeras mudanças entre as notações empregadas antigamente e as utilizadas hoje.

O que se mantém igual são os fundamentos do conceito, a contagem, a representação gráfica e a relação funcional, mas isso até o século XIV. 

François Viète

Foi com o matemático francês François Viète, a partir do século 16, que a álgebra sofreu avanços em sua notação e ganhou normas.

Antes do modelo proposto por Vietè, era comum se utilizar  letras ou símbolos diferentes para representar uma potência. Um exemplo do resultado da contribuição de Vietè na padronização foi a transformação de

, e em , e , respectivamente. 

No século seguinte o 17, iniciou-se a revolução científica. Ela criou a concepção científica moderna que permitiu a construção de um método de investigação.  A revolução afetou a maneira como as pessoas e, principalmente, os cientistas vieram a interpretar o mundo. 

Galileu Galilei 

O principal responsável pelo método científico foi o filósofo italiano Galileu Galilei. Ele também contribuiu para o estudo de modelos para representar os fenômenos da natureza. 

Ele trabalhava com variáveis que dependiam de outras. Além disso, ele foi responsável por inserir variáveis de quantidade que poderiam ser mensurados e tais valores eram representados graficamente.

Galileu fez a demonstração de que o peso de um objeto não influenciava sua velocidade em queda livre e enunciou que o espaço percorrido por um objeto em queda livre é diretamente proporcional ao quadrado do tempo levado para percorrer esse espaço.

Em outras palvras, a distância percorrida por um corpo em queda livre obedece a seguinte expressão:

, 

onde é a aceleração da gravidade e o tempo gasto até o solo. 

Também estabeleceu a relação funcional entre as grandezas e viu que a sequência de dados obtidos para as medidas do espaço criavam uma progressão aritmética de segunda ordem.

Conceito de Função por Galileu 

E foi no estudo dos movimentos que, de certa forma, surgiu o conceito de função, mesmo não havendo formalização por parte de Galileu. 

Conta-se que Galileu Galilei (1564-1642) após observar o movimento oscilatório do candelabro da catedral em Pisa – indo e vindo – realizou experiências com pêndulos de diferentes massas e comprimentos, constatando que o período de oscilação dependia somente do comprimento e não das massas dos pêndulos.

Este último resultado levantava sérias suspeitas sobre se a queda dos corpos dependia de suas propriedades (massas, formas, composições químicas, etc.). Então, segundo a lenda, ele subiu no alto da famosa torre da cidade para lá de cima verificar esta hipótese.

Abandonou objetos de pesos diferentes do alto da torre e constatou que eles mantinham suas posições relativas durante a queda, percebendo que a velocidade de queda dos corpos independe de suas massas.

René Descartes – Conceito de Função

Nessa época o filósofo e matemático francês René Descartes, na obra Discurso do Método, baseou-se na razão para dar fundamento a certeza científica, criando o método científico.

Descartes também foi um dos criadores da chamada geometria analítica. A ideia era definir a posição de um ponto por meio de uma sequência de números. Ela foi sugerida em problemas de navegação que levaram a adaptar o sistema às coordenadas geométricas.

Para Descartes uma equação de duas variáveis poderia ser representada geometricamente por uma curva, isso indicava uma dependência entre valores das variáveis. 

Outra contribuição dele foi considerar uma função como qualquer potência de X. Assim, uma função poderia ser representada como

.

Em um dos apêndices da obra mais famosas, O Discurso do Método, encontra-se o método designado por ele para fazer a representação por meio de coordenadas. 

No entanto, não era muito sistemático o desenvolvimento do método, pois obrigavam os leitores da obra a construir um método por si mesmos.  O texto do trabalho era extremamente difícil para leitura e limitava a divulgação do conteúdo.

Pierre de Fermat – Conceito de Função

O auxílio então veio do matemática francês Pierre de Fermat. Ele trabalhou também na criação de bases da geometria analítica e propôs em refazer a obra lugares planos do matemático grego Apolônio. 

A descrição da geometria analítica de Fermat era muito mais sistemática e didática que Descartes. Essas ideias de Descartes e Fermat juntas permitiram a criação do plano cartesiano. 

Ele consiste em dois eixos perpendiculares, duas retas que formam um ângulo de 90° entre si. Neste plano temos o eixo horizontal (abscissas) e o eixo vertical (ordenada). A abscissa corresponde ao eixo X  já a ordenada corresponde ao eixo Y. 

Os dois eixos ao se cortarem formam quatro regiões conhecidas como quadrantes e o ponto de interseção dos eixos é conhecido como origem. 

Enumerando de forma anti-horária temos o primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante e para indicar coordenadas no plano utiliza-se o par ordenado (X, Y).

Assim, percebe-se que vários fatores permitiram o progresso, mesmo que ainda primitivo do conceito de função.

Newton e Leibniz – Conceito de Função

Podemos destacar a revolução científica como principal fator, pois introduziram grandes cientistas como Galileu. Além de novos que viriam a surgir para consolidar o conceito de função.

O conceito de função teve de percorrer uma longa estrada até se tornar o que é hoje.  Nessa caminhada alguns fatores tiveram maior peso no desenvolvimento do conceito e um deles, sem dúvida, foi a Revolução Científica que gerou o plano cartesiano e o início da normalização dos cálculos. 

No período dos séculos 17 e 18 podemos destacar dois grandes matemáticos: o inglês Isaac Newton e o alemão Leibniz. Ambos trabalharam no desenvolvimento do Cálculo Diferencial. 

Newton

Newton produziu muitas pesquisas para área de física, utilizando a matemática como ferramenta. Preocupava-se com a cinemática e contribuiu para o conceito de função, demostrando que tais funções poderiam ser escritos com uma série de potências.

Além disso, foi o responsável por introduzir o termo variável independente. Também desenvolveu o chamado método dos fluxos, que considerava a curva gerada pelo movimento contínuo.

Os valores das abscissas e das ordenadas variavam, sendo as variáveis associados o fluente e as taxas de variação o fluxo. 

Leibniz

O matemático Leibniz foi o primeiro a dar o nome função a quantidade geométricas que dependiam de um ponto numa curva, ou seja, a quantidade que depende de uma variável.  Introduziu os termos constante, variável e parâmetro.

James Gregory – Conceito de Função

No ano de 1667, James Gregory em sua obra Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura, de 1668, introduziu o conceito de função sem utilizar a palavra propriamente dita. 

Para ele uma função seria uma quantidade obtida de outras quantidades pela sucessão de operações algébricas ou operação imaginárias. 

Johann Bernoulli – Conceito de Função

Após a publicação de um artigo de jornal de Johann Bernoulli, em 1698, que o conceito de função acabou se popularizando entre os matemáticos, porque até então o conceito de função ainda não representava nenhum tipo de teoria.

Ele utilizou a palavra função como solução de um problema.  Considerava como a quantidade composta por uma variável e por constante.  A partir desta definição foi necessário escrever as funções em fórmulas.

Euler – Conceito de Função

No século 18, Leonardo Euler também fez sua contribuição para o conceito de função na obra intitulada Introdução a Análise Infinitesimal.

Neste trabalho ele considerou que uma função de quantidade variável é uma expressão analítica composta por tal quantidade e números ou quantidades constantes.

Assim, as representações de funções passam a ser dadas por fórmulas  matemáticas. Nessa mesma obra, ele introduziu a notação para representar uma função de .

Assim, ao invés de representar uma função por uma letra como

,

ele representa como

.

Euler não apresentou explicação formal sobre o que seria uma expressão analítica, no entanto tentou dar o significado, dizendo que tais expressões envolviam  as quatro operações fundamentais, raízes, exponenciais e logaritmos.

É importante salientar que, no entanto, o responsável pela origem do conceito de função não foi Euler, ele simplesmente tratou o cálculo como a teoria formal de funções.

D’Alembert – Conceito de Função

Durante o século 18 o conceito de função sofre uma grande reformulação, devido ao chamado problema da corda vibrante. A ideia que uma função poderia ser pensada como a expressão analítica definida por uma série de potências era bem restrita a problemas matemáticos. 

O problema da corda vibrante consiste em determinar o formato de uma corda elástica com os pontos inicial e final fixos em um determinado tempo.

Matemático, filósofo e escritor francês Jean le Rond d’Alembert que contribuiu com organização e publicação da enciclopédia na Europa.

Publicou uma solução para o problema da corda vibrante, demonstrando que o resultado era dado por um tipo de equação chamada de equação diferencial.

Uma vez resolvida essa equação a solução seria uma função  que representava o movimento da corda ao longo do tempo numa direção espacial, por exemplo x.

Euler apresentou uma solução muito parecida com D’Alembert mas não concordava com algumas considerações feitas por ele.

Daniel Bernoulli – Conceito de Função

Em 1753 o matemático e físico suíço Daniel Bernoulli, filho de Johann Bernoulli, apresentou uma terceira visão para o problema com ponto de vista mais físico.

Ele percebeu que a corda poderia vibrar de infinitas maneiras diferentes, mas a preocupação de Bernoulli era resolver o problema físico e não conceituar função.

Euler e D’Alembert achavam um absurdo a resolução do problema e usaram instrumentos musicais da época em seus argumentos para demonstrar que Bernoulli estava errado.

Joseph Louis Lagrange – Conceito de Função

O matemático italiano Lagrange também contribuiu para o problema da corda vibrante através de uma solução mais geral. Para Lagrange uma função representava operações com valores tidos como conhecidos e que ao serem realizados tinha-se valores desconhecidos.

Por exemplo, se você tivesse o número 5 como a quantidade conhecida, ao realizar uma operação com esse valor como somar 10 o resultado seria 15.

Esse resultado seria a quantidade desconhecida que você descobriria realizando a operação em questão. 

Vê-se, portanto, que o século 18 foi repleto de avanços devido principalmente ao problema da corda vibrante e as definições de Bernouli complementados pelos trabalhos de Euler.

Porém, mesmo com tanto progresso no conceito de função ainda estava longe de chegar ao formato que possui hoje.

Século XVIII

Com a chegada do século 18 o conceito de função evolui a passos largos graças a contribuição de Bernouli e de Euler  e do problema da corda vibrante. O conceito se aproximou do formato que possui hoje.

Ao final do século 18 houve a necessidade de formalizar os fundamentos dos cálculos, pois até então havia sido usada muito intuição é informalidade.

O matemático Bernard Bolzano é considerado o pioneiro nessa formalização. 

Já o conceito de função também precisava ser claramente definido, o que implicou o surgimento da análise matemática, que tinha como objeto as funções. 

Joseph Fourier – Conceito de Função

Em 1807 o matemático francês Joseph Fourier apresentou na academia de ciências da França um trabalho que tratava da propagação do calor em barras, chapas e sólidos metálicos.

No trabalho, há uma contribuição para o conceito de função, pois Fourier afirmava que toda função poderia ser expressa por uma função trigonométrica, mas especificamente como uma série trigonométrica. 

Abaixo um exemplo da onda quadrada expandida em série de Fourier.

Augustin-Louis Cauchy – Conceito de Função

O  matemático francês Augustin-Louis Cauchy contribuiu para dar mais rigor a matemática. 

Para ele era possível determinar o valor de quantidades variáveis a partir do conhecimento de apenas uma delas, desde que possuíssem algum tipo de relação entre si.

Essa quantidade conhecida era expressa por meio de uma variável considerada independente, já as outras quantidades derivadas desse valor constituiam as chamadas funções dessa variável.

Peter Diriclet – Conceito de Função

Em 1837 o matemático alemão Peter Diriclet demonstrou que nem todas as funções poderiam ser escritas como séries de fourier.

Tais séries mostraram que qualquer função, por mais complicado que fosse, poderia ser decomposta como uma soma de senos e cossenos. 

Em um trabalho de 1829, Dirichlet dá a primeira demonstração rigorosa de que a série de Fourier de uma função f converge, em cada ponto X, para a média aritmética dos limites laterais de f nesse ponto.

Nesse trabalho, Dirichlet dá origem ao conceito de função como hoje se é conhecido. Para isso, foi necessário fazer a separação entre o conceito de função e sua representação analítica. 

Ampliou-se seu conceito, determinando que fosse uma correspondência arbitragem entre variáveis. Isso quer dizer que não era mais necessário partir de uma fórmula para representar uma função, bastava uma associação entre variáveis.

Diriclet considerava a variável como um símbolo para representar um elemento de um conjunto numérico.

Para ele se uma variável X tem uma associação com uma variável Y , de modo que sempre que se atribui o valor para X, existe uma regra na qual apenas uma Y era determinada.

Assim,Y era uma função da variável independente X.

Movimento Bourbaki – Conceito de Função

No século 20 surgiu o movimento chamado de matemática moderna que se baseava na formalidade, no rigor dos fundamentos, da teoria dos conjuntos e da álgebra para ensino da matemática, teoria essa desenvolvida por George Cantor entre os séculos 19 e 20. 

Nesse período, um grupo de matemáticos criou o chamado movimento Bourbaki que tinha o objetivo de fundamentar toda a matemática na teoria dos conjuntos, fazendo assim a propagação das ideias da Matemática moderna.

A definição que Diriclet deu para uma função foi reformulada pelo movimento Bourbaki. 

Esse movimento tomava dois conjuntos A e B, por exemplo, e consideravam a relação de uma variável X pertencente ao conjunto A e uma variável Y pertencente ao conjunto B.

Somente era uma função se para todo X existisse exatamente um único elemento Y. Isso significa que não é função caso haja o valor de X não relacionado ou dois ou mais valores de Y para o único de X.

Conceito de Função 

O conceito de função sofreu várias transformações ao longo da história, à medida que a sociedade passava por alterações. 

Seu conceito foi sendo reformulado conforme as necessidades.  Esse fato demonstra que a função não pode ser considerada um saber estático e imutável ao longo do tempo.

Foram necessários muitos séculos para que chegasse o formato e conceito que possui hoje. 

O conceito de função está presente em várias áreas da matemática e também outras ciências como a física, química, biologia, engenharias, entre outras. 

Já fizemos diversos posts sobre funções abordando vários exercícios resolvidos. Se quiser saber mais clique aqui. 

Espero que tenham gostado deste post. Um grande abraço. 

O post Conceito de Função: Contexto Histórico apareceu primeiro em Dicas de Cálculo.

Conforme o ilustríssimo Elon Lages Lima, os logaritmos – que durante três séculos e meio tão bem desempenharam o papel de maravilhoso instrumento para simplificar o cálculo aritmético, permitindo que se efetuassem, com rapidez e precisão, operações complicadas como a multiplicação de dois números com muitos algarismos, ou uma potenciação com expoente fracionário perderam, há algum tempo, esse lugar de eficiente calculador.

Isso aconteceu pois seu lugar foi ocupado com grande êxito pelas computadores e calculadoras científicas.

Apesar disso, os logaritmos continuam, por motivos bem diversos, a merecer uma posição de destaque no ensino da Matemática, devido à posição central que ocupam nesta ciência e em suas aplicações.

Essa posição é permanente, porque a função logarítmica e a sua inversa, a função exponencial, constituem a única maneira de se escrever matematicamente a evolução de uma grandeza cuja taxa de crescimento ou decrescimento é proporcional à quantidade daquela grandeza existente num dado momento.

Além disso, para transformar a multiplicação em adição, para saber em quanto tempo você vai acumular uma certa quantia de dinheiro, para detectar fraudes, medir a intensidade de terremotos e entender os nossos sentidos, essas são só algumas aplicações dos logaritmos.

Ah então você gosta de matemática?

Pois é, tem louco para tudo nessa vida.

Faz uma conta aí para mim então: quanto que é 1548 x 982. Se tem uma coisa que as pessoas odeiam é fazer conta. É chato, dá trabalho e ainda tem o risco de você errar.

Agora imagine você vivendo lá no século 16 quando não tinha calculadora.

Existia uma necessidade muito grande de se desenvolver novas tecnologias, principalmente por causa das grandes navegações. Era uma coisa terrível. Por isso, perdia-se, em média, 15 meses fazendo os cálculos.

Naquela época o máximo que você tinha era um ábaco ou então algumas identidades trigonométricas. Então, foi nesse contexto que surgiu o grande Jonh Napier,  considerado o inventor dos logaritmos.

John Napier 

Ele foi um matemático – astrônomo escocês que tinha fortes interesses teológicos e um lado um pouco místico. Reza a lenda que andava com uma aranha preta dentro de uma caixinha no bolso e que ele tinha um companheiro mágico que era um galo.

Os boatos dizem que ele usava esse galo para descobrir quais eram os empregados que estavam roubando ele.

Os empregados suspeitos eram trancados dentro de um quarto junto com o galo e ele dizia: eu quero que cada um de vocês pegue o galo nas mãos, pois no final com toda certeza descobrirei quem é o culpado.

Por exemplo, sabemos que

.

Perceba que e , ou seja:

.

Olhando os expoentes das potencias percebemos que é como se estivéssemos somando .

Deu-se o nome a esses expoentes de logaritmos. Por isso, nós dizemos que o logaritmo de 32 na base 2 = 5.

Em outras palavras, qual o expoente que eu preciso elevar a dois para que dê 32? Matematicamente isso quer dizer:

.

Sabemos que a resposta é 5, pois , logo:

.

Da mesma forma,

.

Como , temos que . Portanto,

.

Usando essa mesma ideia, podemos observar também que

.

Com isso podemos escrever que

,

que é uma propriedade bem importante dos logaritmos. Fizemos um exemplo com base 2 mas poderia ser qualquer outro número maior do que 1. Então, de uma forma geral temos que

.

Note que estamos transformando uma multiplicação em uma soma. Além de Napier outros matemáticos também dedicaram seu tempo para construir tabela de logaritmos.

Existem diversos livros que são conjuntos de tabelas de logaritmos em diversas bases. Até pouco tempo atrás, na década de 70, ainda se usava bastante essas tabelas de logaritmos.

Hoje, graças a Deus, temos as calculadoras e os computadores que vieram para facilitar nossas vidas.

No entanto, logaritmos são muito mais que só simplificar contas.

Existem diversas aplicações, sendo uma delas ligadas as aplicações financeiras.

Logaritmos na Matemática Financeira

Como você é uma pessoa que pensa no futuro, você quer saber quanto tempo você tem que deixar o seu dinheiro em algum investimento para que você consiga juntar, por exemplo, R$ 1.000.000,00.

Admitamos que com muito custo e suor você conseguiu juntar R$ 10.000,00 e supondo que a taxa de juros ao ano de um investimento seja de 7% ao ano.

Como calcular o tempo necessário para esses 10 mil se tornarem 1 milhão? .

Admitindo que o capital seja aplicado a juros compostos temos que usar a fórmula do Valor Futuro (montante), ou seja:

,

onde é o valor futuro (montante), é o Valor Presente (capital inicial), é a taxa de juros unitária e é o prazo (tempo).

Logo, , , e é o que queremos saber.

Assim, substituindo os valores temos:

,

que pode ser reescrita como

.

Queremos encontrar o , então aplicando o logaritmo na base 10 (por conveniência) dos dois lados temos

.

Aqui cabe ressaltar que, uma vez que a base 10 é uma das mais comuns, convencionou-se

.

Em outras palavras, quando a base for 10 não precisa-se escrever, porque está subentendido.

Utilizando a Propriedade 2 dos Logaritmos , nós conseguimos isolar o que queremos calcular como:

,

ou seja,

.

Bem, temos

,

pois,

.

Já para , preciamos saber qual satisfaz

.

Para isso, usa-se uma calculadora científica, na qual obtemos

,

usando todos os dígitos da calculadora do computador.

Logo,

,

arredondando na segunda casa. Ou seja, levaria 68 anos para acumular 1 milhão com um investimento de 10 mil a uma taxa de 7% ao ano.

Logartimos na Lei de Benford

Suponha que você pegue uma lista com a população de todos os municípios do Estado de São Paulo. Existe um fato muito curioso relacionado aos logaritmos.

Se você contar quantas vezes aparece o algarismo 1 como o primeiro dígito, quantas vezes aparece o algarismo 2 com primeiro dígito, quantas vezes aparece o algarismo 3 como terceiro dígito das populações das cidades você vai perceber que:

1 aparece muito mais vezes que o 2; 2 aparece muito mais vezes que o 3; 3 aparece muito mais vezes que o 4 e assim por diante, até chegar no 9.

Isso é muito bizarro, porque o que espera-se é que a distribuição seja igual entre os algarismos, uma vez que estamos pegando o primeiro algarismo das cidades e esses números, a priori, são aleatórios.

Isso acontece com várias outras listas de números aleatórios da vida real. Se você quiser você mesmo pode conferir isso.

Entra lá no site do IBGE e baixa a lista da população por estado. E conta o número de algarismos 1 nessa lista. Dá para usar o Excel fazendo umas fórmula e você descobre esse fenômeno.

Isso se chama Lei de Benford.

Frank Benford demonstrou que esse resultado se aplica a uma ampla variedade de conjuntos de dados, incluindo contas de eletricidade, endereços, preços de ações, preços de casas, números de população, taxas de mortalidade, comprimentos de rios, constantes físicas e matemáticas. pelas leis de potência (que são muito comuns na natureza).

Todas essas afirmações são calculadas ou definidas junto a uma escala logarítmica.

A probabilidade se sair cada um dos dígitos é dado por:

,

onde d é a probabilidade de sair cada um dos nove dígitos. O resultado vai ter uma distribuição semelhante a esta

Tudo bem, mas para que que serve isso?

Pode servir para detectar fraudes, por exemplo. Se você utilizar o mesmo raciocínio de cidades e verificar a votação das eleições para presidente de um país.

Os votos de cada urna devem seguir a Lei de Benford, ou seja, se não tiver essa distribuição, existe um risco da eleição ter sido fraudada.

O mesmo vale para as declarações de imposto de renda e para contabilidade de um modo geral.

Se você calcular o primeiro dígito nas potências de 2 ou na sequência de Fibonacci, você vai ver que também aparece essa mesma distribuição, o que é realmente muito interessante.

Logaritmos na escala Richter

Para construir a escala Richter que mede a intensidade dos terremotos, foi construída uma escala logarítmica que mede o nível da intensidade sonora que ouvimos.

Aliás, os nossos sentidos humanos de uma forma geral segue uma escala logarítmica que é descrita pela lei de Weber-Fechner .

A lei de Weber-Fechner pode ser enunciada como: “a resposta a qualquer estímulo é proporcional ao logaritmo da intensidade do estímulo”.

Esta lei aplica-se aos 5 sentidos, mas as suas implicações são mais bem entendidas quando se refere aos estímulos provocados pela luz e pelo som.

É decorrente do fenômeno assim descrito, que são medidas de percepção da intensidade sonora pelo ouvido humano, e luminosa pelos órgãos de visão, são feitas por grandezas logarítmicas.

É o caso do Decibel (dB) definido como 10 vezes o logaritmo decimal da intensidade sonora.

A mesma grandeza logarítmica descreve também a intensidade luminosa percepcionada, sendo genericamente usada em óptica e engenharia.

Logaritmos e o Decaimento Radioativo

A meia vida de um material radioativo é o tempo necessário para que uma quantidade desse material decaia à metade de sua quantidade original.

Além do mais, qualquer material radioativo que se desintegre segue a seguinte lei de acordo com a equação abaixo:

,

onde é a quantidade de material radioativo e é a constante de decaimento.

Admitindo que a quantidade inicial de material radioativo no tempo seja , temos

.

Para resolver a Equação Diferencial Ordinária, basta separar as variáveis e aplicar o operador integral da seguinte forma:

, 

que implica 

. 

Além disso, cabe lembrar que , que é definido como o logaritmo natural. Aplicando a exponencial nos dois lados da equação acima temos: 

, 

na qual pode ser reescrita como

.

Renomeando   temos

.

Como no tempo temos que   ficamos com: 

,

que implica em 

. 

Logo,

.

Como a meia vida é o tempo necessário para que determinada quantidade de material radioativo decai a metade da quantidade original, temos que 

.

Assim, substituindo temos 

. 

Dividindo os dois lados  por temos 

. 

Aplicando o logaritmo natural dos dois lados e usando a propriedade do quociente dos logaritmos fica-se com: 

. 

Como temos que a meia vida é 

.

Portanto, espero que tenham se surprendido com a importância dos logaritmos não só para simplificação de contas, mas também nas aplicações do cotidiano. Grande abraço. 

O post Logaritmos: contexto histórico e aplicações do cotidiano apareceu primeiro em Dicas de Cálculo.

Desde a antiguidade percebeu-se que a divisão do perímetro pelo diâmetro de qualquer circunferência resultava sempre no mesmo número, o Número Pi.

No século III a.C, Arquimedes já estimava que este número estaria entre 3,1408 e 3,1428. Ao longo dos anos, percebeu-se que não teria como expressar este número com exatidão, pois ele é irracional.

A primeira utilização do símbolo  para representar pi deve-se a William Jones em 1706, sendo depois adotada por Euler em 1748. Logo, se popularizou e tornou a notação padrão para esta constante.

Pode-se provar que o número  é irracional e transcendente.

Um número diz-se irracional quando não pode ser representado por uma fração de dois inteiros e transcendente se não anular nenhuma função polinomial de coeficientes inteiros.

Assim, no século XVIII foi adotada a letra grega como sendo a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência.

Entretanto, dependendo da precisão necessária nos cálculos, adotam-se diferente valores de aproximação. Em exercícios escolares utiliza-se normalmente 3,14 ou no máximo 3,1416.

Já em cálculos mais precisos, como na exploração do espaço, segundo o engenheiro-chefe da missão Dawn da NASA, Marc Rayman, relata terem usado 3,141592653589793.

Além disso, baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi. Essa forma é eficiente para um polígono de qualquer número de lados.

Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos:

Temos formado um triângulo isósceles, de base l e lados r=1:

O ângulo do triângulo isósceles no centro do polígono é expresso por 360º dividido pelo número de lados (n), portanto:

Dessa forma, o perímetro do polígono será de:

Como  é representado pelo perímetro do polígono dividido pelo seu diâmetro, temos:

Aplicando transformações trigonométricas, a fórmula acima pode ser simplificada para:

O post Número Pi: razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência apareceu primeiro em Dicas de Cálculo.

Desde a antiguidade percebeu-se que a divisão do perímetro pelo diâmetro de qualquer circunferência resultava sempre no mesmo número, o Número Pi.

No século III a.C, Arquimedes já estimava que este número estaria entre 3,1408 e 3,1428. Ao longo dos anos, percebeu-se que não teria como expressar este número com exatidão, pois ele é irracional.

A primeira utilização do símbolo  para representar pi deve-se a William Jones em 1706, sendo depois adotada por Euler em 1748. Logo, se popularizou e tornou a notação padrão para esta constante.

Pode-se provar que o número  é irracional e transcendente.

Um número diz-se irracional quando não pode ser representado por uma fração de dois inteiros e transcendente se não anular nenhuma função polinomial de coeficientes inteiros.

Assim, no século XVIII foi adotada a letra grega como sendo a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência.

Entretanto, dependendo da precisão necessária nos cálculos, adotam-se diferente valores de aproximação. Em exercícios escolares utiliza-se normalmente 3,14 ou no máximo 3,1416.

Já em cálculos mais precisos, como na exploração do espaço, segundo o engenheiro-chefe da missão Dawn da NASA, Marc Rayman, relata terem usado 3,141592653589793.

Além disso, baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi. Essa forma é eficiente para um polígono de qualquer número de lados.

Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos:

Temos formado um triângulo isósceles, de base l e lados r=1:

O ângulo do triângulo isósceles no centro do polígono é expresso por 360º dividido pelo número de lados (n), portanto:

Dessa forma, o perímetro do polígono será de:

Como  é representado pelo perímetro do polígono dividido pelo seu diâmetro, temos:

Aplicando transformações trigonométricas, a fórmula acima pode ser simplificada para:

O post Número Pi: razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência apareceu primeiro em Dicas de Cálculo.

Os Ângulos Notáveis são os ângulos mais usados no estudo da trigonometria, pois a partir deles pode-se encontrar o valor dos demais ângulos. Portanto, busque alguma forma de fixá-los.  

Ângulos notáveis são assim conhecidos em razão de sua importância para a Geometria. Eles são provenientes da Trigonometria, conteúdo em que se destacaram como os mais comuns e por apresentarem resultados diferenciados em seus cálculos. Os ângulos notáveis são: 30°, 45° e 60°.

Além desses, vale fazer uma “menção honrosa” aos ângulos 0°, 90° e 180°. Entretanto, não é possível utilizar as razões trigonométricas para esses ângulos na trigonometria básica.

Para cada ângulo, existe um valor de seno, cosseno e tangente, mas os valores encontrados para os ângulos notáveis podem ser expressos de maneira vantajosa. Adiante, veja uma tabela contendo todos os valores de seno, cosseno e tangente desses ângulos.

Uma boa forma de memoriza-los é buscar associar eles a alguma coisa ou encontrar alguma forma de relaciona-los. Assim, vamos deixar aqui uma forma de tentar guardar em sua mente:
a) perceba que o numerador segue uma sequência crescente de raízes   para o seno e descrente para o cosseno, pois .
b) os denominadores são todos  2.

Para os demais ângulos do primeiro quadrante,   e  , lembre-se do circulo trigonométrico em que os senos estão projetados no eixo y e os cossenos estão projetados no eixo x. Os demais quadrantes são projeções deste primeiro, veja na figura para o caso do .

Gráfico

Nesta imagem, percebe-se a simetria entre os ângulos de quadrantes diferentes. Da mesma forma, isso acontece para os demais ângulos. 

Portanto, espero que tenham gostado desse post sobre ângulos notáveis. Continuem nos acompanhando. Divulguem nosso site. Compartilhe esse post com os amigos ou com aqueles que essa informação possa ser relevante. Se ficou alguma dúvida coloque nos comentários abaixo. Use seu login do Facebook. 

O post Ângulos Notáveis apareceu primeiro em Dicas de Cálculo.

Os Ângulos Notáveis são os ângulos mais usados no estudo da trigonometria, pois a partir deles pode-se encontrar o valor dos demais ângulos. Portanto, busque alguma forma de fixá-los.  

Ângulos notáveis são assim conhecidos em razão de sua importância para a Geometria. Eles são provenientes da Trigonometria, conteúdo em que se destacaram como os mais comuns e por apresentarem resultados diferenciados em seus cálculos. Os ângulos notáveis são: 30°, 45° e 60°.

Além desses, vale fazer uma “menção honrosa” aos ângulos 0°, 90° e 180°. Entretanto, não é possível utilizar as razões trigonométricas para esses ângulos na trigonometria básica.

Para cada ângulo, existe um valor de seno, cosseno e tangente, mas os valores encontrados para os ângulos notáveis podem ser expressos de maneira vantajosa. Adiante, veja uma tabela contendo todos os valores de seno, cosseno e tangente desses ângulos.

Uma boa forma de memoriza-los é buscar associar eles a alguma coisa ou encontrar alguma forma de relaciona-los. Assim, vamos deixar aqui uma forma de tentar guardar em sua mente:
a) perceba que o numerador segue uma sequência crescente de raízes   para o seno e descrente para o cosseno, pois .
b) os denominadores são todos  2.

Para os demais ângulos do primeiro quadrante,   e  , lembre-se do circulo trigonométrico em que os senos estão projetados no eixo y e os cossenos estão projetados no eixo x. Os demais quadrantes são projeções deste primeiro, veja na figura para o caso do .

Gráfico

Nesta imagem, percebe-se a simetria entre os ângulos de quadrantes diferentes. Da mesma forma, isso acontece para os demais ângulos. 

Portanto, espero que tenham gostado desse post sobre ângulos notáveis. Continuem nos acompanhando. Divulguem nosso site. Compartilhe esse post com os amigos ou com aqueles que essa informação possa ser relevante. Se ficou alguma dúvida coloque nos comentários abaixo. Use seu login do Facebook. 

O post Ângulos Notáveis apareceu primeiro em Dicas de Cálculo.

Trigonometria vem do grego: Trigono = triângulo e metria = medidas. Assim, pode-se dizer que trigonometria é o estudo em que relaciona as medidas existente em um triângulo, ou seja, Relações Trigonométricas. 

Além do mais, os triângulos podem ser classificados segundo as medidas dos seus lados ou dos seus ângulos internos:

Medidas

1) Triângulo Equilátero: a medida de todos os lados são iguais.

2) Triângulo Isósceles: a medidas de pelo menos dois lados são iguais.

3) Triângulo Escaleno: os três lados possuem medidas diferentes.

Ângulos

1) Triângulo Retângulo: um dos seus ângulos internos é reto (90º).

2) Triângulo Acutângulo: todos os seus ângulos internos são agudos (menores do que 90º).

3) Triângulo Obtusângulo: um dos seus ângulos internos é obtuso (maior do que 90º).

Nos triângulos retângulos tem-se algumas relações fundamentais, em que se relacionam os catetos (adjacente e oposto) com a hipotenusa.

Relação Trigonométrica do Seno

É a relação trigonométrica em que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa, dado da seguinte forma:

.

O valor do   altera-se conforme altera-se o ângulo . Observam-se estas mudanças no circulo trigonométrico que possui raio igual a 1.  Então, o valor do  é a projeção ortogonal do raio no eixo , apresentado na cor vermelha.

Além disso, altere o valor de deslizando-o para os lados ou clicando no botão do play que está no canto inferior esquerdo. 

Relação trigonométrica do Cosseno

É a relação trigonométrica em que relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa, dado da seguinte forma:

.

O valor do   altera-se conforme altera-se o ângulo . Observam-se estas mudanças no circulo trigonométrico que possui raio igual a 1.  Então, o valor do  é a projeção ortogonal do raio no eixo , apresentado na cor vermelha.

Além disso, altere o valor de deslizando-o para os lados ou clicando no botão do play que está no canto inferior

Relação trigonométrica da Tangente

É a relação trigonométrica em que relaciona o cateto oposto  com o cateto adjacente, dado da seguinte forma:

ou também escreve-se

.

Então, o valor do  é a projeção ortogonal do raio na reta tangente ao circulo trigonométrico no ponto , apresentado na cor vermelha. 

Além disso, altere o valor de deslizando-o para os lados ou clicando no botão do play que está no canto inferior

Portanto, Perceba que nos ângulos   e   a não existe, pois neste dois pontos temos . Ou também pode-se pensar que é impossível fazer a projeção ortogonal, uma vez que nestes dois caso o raio está paralelo a reta tangente. 

Além do mais, se quiser saber mais sobre como fazer o gráfico dessas funções trigonométricas clique aqui  ou assista em vídeo aqui .

O post Relações Trigonométricas apareceu primeiro em Dicas de Cálculo.