Integração por Substituição: Antiderivada da Regra da Cadeia

Integração por Substituição: a antiderivada da Regra da cadeia

No post anterior apresentamos a integral como a busca da família das antiderivadas de uma função. Neste sentido apresentaremos hoje o Método da Integração por Substituição que pode ser apresentado como a antidiferenciação da Regra da Cadeia.

Como motivação, observemos a seguinte integral e perceba que nesta não podemos aplicar as fórmulas das integrais imediadas

$\displaystyle \int 4x\sqrt{3-x^{2}}dx$ .

Assim precisamos aplicar alguma metodologia que transforme a integral dada por outra em que conhecemos sua integral imediata. Uma maneira de integral é utilizar o Método da Integração por Substituição, que como o próprio nome diz, devemos aplicar uma substituição.

Entretanto, antes de aplicar o método, vamos mostrar porque a Integração por Substituição é a presentada como a antidiferenciação da Regra da Cadeia. Lembre-se que a Regra da Cadeia é dada por

$\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg[f\big(g(x)\big)\bigg]=f'\big(g(x)\big)g'(x)$ ,

aplicando a integral em ambos os lados temos

$\displaystyle \int \frac{d}{dx}\bigg[f\big(g(x)\big)\bigg]dx=\int f'\big(g(x)\big)g'(x)dx$

Tomando $\displaystyle u=g(x)$ , derivando temos $\displaystyle \frac{du}{dx}=g'(x)$ e multiplicando ambos os lados por $dx$ temos $du=g'(x)dx$ . Assim substituindo na expressão anterior temos

$\displaystyle \int \frac{d}{dx}\bigg[f\big(g(x)\big)\bigg]dx=\int f'\big(g(x)\big)g'(x)dx=$

$\displaystyle \int f'(u)du=f(u)+C=f\big(g(x)\big)+C$ .

Deste modo obtemos a família da função composta original, antes de ser aplicada a Regra da Cadeia.

Agora voltamos a integral dada na motivação deste post e aplicaremos a Integração por Substituição

$\displaystyle \int 4x\sqrt{3-x^{2}}dx$ .

Substituindo $\displaystyle u=3-x^{2}$ e derivando $\displaystyle \frac{du}{dx}=-2x\: \: \Rightarrow \: \: du=-2x\,dx$ temos agora uma integral na variável u

$\displaystyle \int 4x\sqrt{3-x^{2}}dx=\int -2\sqrt{3-x^{2}}(-2x)dx$

substituindo teremos

$\displaystyle \int -2\sqrt{3-x^{2}}(-2x)dx=\int -2\sqrt{u}du=-2\int \sqrt{u}du$ .

Em seguida, aplicando a integral imediata da potência

$\displaystyle -2\int \sqrt{u}du=-2\int u^{\frac{1}{2}}du=-2\bigg(\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\bigg)+C=$

$\displaystyle -\frac{4u^{\frac{3}{2}}}{3}+C=-\frac{4\sqrt{u^{3}}}{3}+C$ .

Por fim, substituindo $\displaystyle u=3-x^{2}$ obteremos o valor da integral indefinida

$\displaystyle-\frac{4\sqrt{u^{3}}}{3}+C=-\frac{4\sqrt{(3-x^{2})^{3}}}{3}+C$ .

Logo,

$\displaystyle \int 4x\sqrt{3-x^{2}}dx=-\frac{4\sqrt{(3-x^{2})^{3}}}{3}+C$ .

Caso queira fazer uma “prova” para verificar o resultado encontrado, basta derivar e comparar com o integrando. Continue seus estudos acompanhando outros exemplos resolvidos clicando aqui.

Integração por Substituição

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