Integral indefinida: encontrando antiderivadas

Integral indefinida: buscando as antiderivadas

Neste post apresentaremos o que é uma antiderivada e, em seguida, o processo para encontrar a Integral indefinida de uma função. Como o próprio nome diz uma anti derivada é algo que vai “contra” a derivada, ou seja, o processo inverso da derivada.

Assim se temos a função derivada, f'(x), com a antiderivada encontraremos a função originária f. Por exemplo, se temos a função derivada

$\displaystyle {f}'(x)=3x^{2}$ ,

uma função originária, ou seja, uma função antes de derivar, para esta função derivada pode ser

$\displaystyle f(x)=x^{3}$ .

Perceba de escrevemos uma função originária pode ser, isto é, a antiderivada não é única, por exemplo, no caso anterior, para qualquer constante C, a função

$\displaystyle f(x)=x^{3}+C$

é uma antiderivada. Chamamos o processo de encontrar a família das antiderivadas de antidiferenciação ou também de integração, e é definido pelo símbolo que assemelha um “S esticado”, por exemplo, no caso anterior

$\displaystyle \int 3x^{2}dx=x^{3}+C$

onde $\int$ é o símbolo de integração, $3x^{2}$ é o integrando, $dx$ é o diferencial que identificar a variável de integração e $x^{3}+C$ é a antiderivada. Para formalizar o que é uma antiderivada apresentaremos o seguinte Teorema.

Teorema: Se $f(x)$ for uma antiderivada de ${f}'(x)$ em um intervalo $I$ , então para qualquer constante $C$ a função $f(x)+C$ também será uma antiderivada de ${f}'(x)$ no mesmo intervalo.

$\displaystyle \int {f}'(x)dx=f(x)+C$

Este processo de encontrar a família das antiderivadas a partir de sua derivada, em um domínio qualquer, é chamado de Integral indefinida. Perceba que para aplicar este processo é necessário ter um conhecimento prévio das derivadas.

Assim algumas fórmulas básicas de integração são construídas a partir do conhecimento da diferenciação. Na tabela a seguir trazemos as integrais mais comuns.

Derivadas	Integrais
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x\big]=1$	$\displaystyle \int 1dx=x+C$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{n}\big]=nx^{n-1}$	$\displaystyle \int nx^{n-1}dx=x^{n}+C$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[sen(x)\big]=cos(x)$	$\displaystyle \int cos(x)dx=sen(x)+C$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[cos(x)\big]=-sen(x)$	$\displaystyle \int sen(x)dx=-cos(x)+C$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[e^{x}\big]=e^{x}$	$\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[ln\;\|x\|\big]=\frac{1}{x}$	$\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=ln\;\|x\|+C$

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