Integral Definida: Área sob uma Curva

O nome Integral Definida vem do fato que a integral está restrita a um intervalo. Assim se temos uma função f(x) e aplicarmos a integral definida em [a,b] obteremos um valor que não depende mais de x. Este valor encontrado é a Área que está limitada entre a função f(x), o eixo x e as retas x=a e x=b, como na figura.

Definição: Se a função f(x) for contínua em [a,b], onde este intervalo seja dividido em n partes iguais de comprimento $\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n}$ e tomarmos para cada i-ésimo intervalo um $\displaystyle x_{i}$ , i=1,…,n, a integral definida de f(x) em [a,b] é dada por

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x$ ,

se este limite existir.

Exemplo 1: encontre a área sob a função f(x)=sen(x) no intervalo $\displaystyle [0,\pi ]$ .

Observe que o exemplo nos pede que calculemos a área localizada entre a curva, o eixo e no intervalo indicado, assim utilizaremos a Integral Definida

$\displaystyle \int_{0}^{\pi }sen(x)dx$ .

O primeiro passo é encontrar a integral como vimos na Integral Indefinida e deixando indicado o intervalo de integração. Perceba que podemos integrar direto, sem uso de outro artificio, pois temos uma integral imediata

$\displaystyle \int_{0}^{\pi }sen(x)dx=(-cos(x)+C)\bigg|_{0}^{\pi }$ .

O passo seguinte é aplicarmos o intervalo de integração, que consiste em aplicar o intervalo superior na função encontrada menos o intervalo inferior também aplicado na função encontrada

$\displaystyle (-cos(x)+C)\bigg|_{0}^{\pi }=(-cos(\pi )+C)-(-cos(0)+C)=$

$\displaystyle -cos(\pi )+C+cos(0)-C=-(-1)+1=2$

Logo,

$\displaystyle \int_{0}^{\pi }sen(x)dx=2$ .

Obs: perceba que a constante C que surge quando integramos sempre se cancelará nas integrais definidas, assim caso queira omitir não influenciará no resultado final.

Observe esta área no gráfico da função

Integral Definida da função sen(x)

Atenção: No gráfico anterior, observe que o intervalo indicado fica todo sobre o eixo x. Assim aplicamos uma única integral para todo intervalo. Porém quando tivermos uma parte a cima o eixo x e outra a baixo, temos que separar os intervalos.

Para ficar mais claro a explicação utilizaremos outro exemplo.

Exemplo 2: Encontre a área limitada pela função $\displaystyle f(x)=x$ e o eixo x no intervalo $\displaystyle [-1,1]$ .

Observe que se aplicarmos a integral para todo o domínio teremos uma área nula

$\displaystyle \int_{-1}^{1}xdx=\bigg(\frac{x^{2}}{2}\bigg)\bigg|_{-1}^{1}=\bigg(\frac{1^{2}}{2}\bigg)-\bigg(\frac{(-1)^{2}}{2}\bigg)=0$

entretanto este resultado é falso. Isto ocorre pois a função ora é positiva e ora negativa. Para obtermos o verdadeiro resultado, devemos separa em duas integrais.

Uma para o domínio onde a função é não positiva, $\displaystyle -1\leq x\leq 0$ .
Uma para o domínio onde a função é não negativa, $\displaystyle 0\leq x\leq 1$ .

Mas para onde a função é não positiva, a integral deve ser antecedida do sinal menos, pois se não a área será negativa neste intervalo devido a altura ser negativa. Assim temos que determinar

$\displaystyle A=\int_{0}^{1}xdx-\int_{-1}^{0}xdx$ .

Calculando separadamente

$\displaystyle \int_{0}^{1}xdx=\bigg(\frac{x^{2}}{2}\bigg)\bigg|_{0}^{1}=\bigg(\frac{1^{2}}{2}\bigg)-\bigg(\frac{0^{2}}{2}\bigg)=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \int_{-1}^{0}xdx=\bigg(\frac{x^{2}}{2}\bigg)\bigg|_{-1}^{0}=\bigg(\frac{0^{2}}{2}\bigg)-\bigg(\frac{(-1)^{2}}{2}\bigg)=-\frac{1}{2}$

Substituindo obtemos o resultado esperado

$\displaystyle A=\int_{0}^{1}xdx-\int_{-1}^{0}xdx=\frac{1}{2}-\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)=1$ .

No gráfico a seguir podemos perceber a veracidade do resultado, ao calcular, geometricamente, as áreas dos dois triângulos.

Acompanhe a resolução de outro exemplo clicando aqui.

Integral Definida

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