Demonstração das propriedades de limites

Na resolução dos exercícios de limites, frequentemente, utilizamos as suas diversas propriedades, pois elas facilitam e agilizam a obtenção do resultado. Entretanto, antes de utilizá-las deveríamos saber demonstrá-las. Assim, publicaremos uma série de post em que apresentaremos as Demonstração das propriedades de limites, iniciaremos com a propriedade do limite de uma função constante e o limite da soma ou da subtração.

Para iniciar devemos lembrar da definição formal de limite, em que $\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L$ significa que para todo $\epsilon>0$ existe um $\delta>0$ , tal que

$0<|x-a|<\delta$ implica em $\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon$ .

1) Demonstração do Limite de uma função constante:

Seja a função $\displaystyle f(x)=K$ em que possui o limite $\displaystyle K$ , quando $\displaystyle x\rightarrow a$ , ou seja,

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}K=K$ .

Demonstração

Por hipótese temos que $\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = K$ significa que para todo $\epsilon>0$ existe um $\delta>0$ , tal que

$0<|x-a|<\delta$ implica em $\displaystyle |f(x)-K|=|K-K|=0<\epsilon$ .

Portanto, para qualquer $\epsilon>0$ podemos escolher qualquer $\delta>0$ que o limite será satisfeito.

2) Demonstração do limite da soma ou subtração

Sejam as funções $\displaystyle f(x)$ e $\displaystyle g(x)$ em que possuem limite $\displaystyle L_{1}$ e $\displaystyle L_{2}$ , respetivamente, quando $\displaystyle x\rightarrow a$ , ou seja,

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=L_{1}$ e $\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=L_{2}$ .

Então a função $\displaystyle f(x)+g(x)$ possui limite quando $\displaystyle x\rightarrow a$ e é dado da forma:

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( f(x)+g(x)\right)=\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)+\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=L_{1}+L_{2}$ .

Demonstração

Por hipótese temos que $\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L_{1}$ significa que para todo $\epsilon>0$ existe um $\delta_{1}>0$ , tal que

$0<|x-a|<\delta_{1}$ implica em $\displaystyle |f(x)-L_{1}|<\frac{\epsilon}{2}$

e $\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) = L_{2}$ significa que para todo $\epsilon>0$ existe um $\delta_{2}>0$ , tal que

$0<|x-a|<\delta_{2}$ implica em $\displaystyle |g(x)-L_{2}|<\frac{\epsilon}{2}$ .

Tomando o menor valor de delta, $\delta=min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$ temos que

$\displaystyle \left| \left( f(x)+g(x)\right)-\left( L_{1}+L_{2}\right )\right|=\left| f(x)-L_{1}+g(x)-L_{2}\right|$ ,

usando a desigualdade triangular tem-se:

$\displaystyle \left| f(x)-L_{1}+g(x)-L_{2}\right|\leq \left| f(x)-L_{1}\right|+\left|g(x)-L_{2}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$ .

Obs: A demonstração da propriedade da subtração é de forma análoga, apenas fazendo a troca de sinais.

Continue seus estudos de limites com outras demonstrações das propriedades dos Limites clicando aqui.

Demonstração das propriedades de limites – Parte I

Método exclusivo com explicações passo a passo, exercícios comentados e dicas práticas que você nunca viu na faculdade

Demonstração das propriedades de limites

1) Demonstração do Limite de uma função constante:

2) Demonstração do limite da soma ou subtração

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Resolvendo limites de funções passo a passo

Aproximação linear local – exemplos resolvidos

Construindo gráficos de funções raiz (raiz quadrada)

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