Propriedades dos Limites

Propriedades dos Limites

 

Neste post apresentam-se as principais Propriedades dos Limites, porém sem fazer sua demostração. Estas propriedades são muito úteis na resolução de problemas envolvendo cálculo de limites. 

1) Propriedade da unicidade do Limite:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L  e  \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = M então L = M .

2) Propriedade do Limite de uma função constante:

Se  f(x) = K para todo x real, então para qualquer a real, tem-se:

\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow a} k = k .

Clique aqui para ver a Demonstração.

3) Propriedade da soma ou da subtração dos Limites:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L e \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) = M então:

\lim\limits_{x\rightarrow a} (f(x) \pm g(x)) = \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) \pm \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) =L\pm M

Clique aqui para ver a Demonstração.

4) Propriedade da multiplicação por escalar do Limite:

Para qualquer constante K e \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L

\lim\limits_{x\rightarrow a} (k \times f(x)) = k \times \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = k \times L .

Obs: O sinal, \times , simboliza simplesmente uma multiplicação entre dois termos e não o operador rotacional.

5) Propriedade da multiplicação de Limites:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L  e  \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) = M então: 

\lim\limits_{x\rightarrow a} (f(x) \times g(x)) = \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) \times \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) = L \times M

Clique aqui para ver a Demonstração.

6) Propriedade da divisão de Limites:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L ,  \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) = M e M\neq0  então: 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)} = \frac{L}{M}

Clique aqui para ver a Demonstração.

 7) Propriedade da potência de Limites:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L  então: 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a} (f(x))^{n} = (\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x))^{n} = L^{n}

8) Propriedade do exponencial do Limite:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L  e  b \in \mathbb{R}  então: 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a} b^{f(x)} = b^{\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)} = b^{L} .

9) Propriedade do logaritmo do Limite:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L , L>0 , b \in \mathbb{R} ,  b>0 ,  b\neq1  e  n\in\mathbb{N}  então: 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a} (log_{b}f(x)) = log_{b}(\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)) = log_{b}L .

10) Propriedade da raiz do Limite:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L , n\in\mathbb{N}  e  L>0  quando n  for par então:

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)} = \sqrt[n]{L} .

11) Propriedade do confronto ( sanduíche ) dos Limites:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a}h(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=L  tal que  h(x)\leq f(x)\leq g(x) então: 

\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L .

12) Propriedade dos polinômios:

Esta propriedade é uma combinação das propriedades 3 e 4. Seja p(x)=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_{1}x+b_{0} um polinômio qualquer, onde os b_{n} são constantes  arbitrárias, tem-se: 

\lim\limits_{x\rightarrow a} p(x) = \lim\limits_{x\rightarrow a}(b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_{1}x+b_{0}) =

= \lim\limits_{x\rightarrow a}b_{n}x^{n}+\lim\limits_{x\rightarrow a}b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\lim\limits_{x\rightarrow a}b_{1}x+\lim\limits_{x\rightarrow a}b_{0} =

 = b_{n} \lim\limits_{x\rightarrow a}x^{n}+b_{n-1} \lim\limits_{x\rightarrow a}x^{n-1}+\cdots+b_{1} \lim\limits_{x\rightarrow a}x+b_{0} \lim\limits_{x\rightarrow a} =

= p(a) .

Logo,                               \lim\limits_{x\rightarrow a}p(x) = p(a)

13) Propriedade da divisão de polinômios:

Nos limites da forma \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)} em que p(x) e q(x)  são polinômios em x , prevalecem os termos de maior grau de ambos os polinômios quando for calcular o limite, ou seja, se

p(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}
q(x)=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_{1}x+b_{0}

então  

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{a_{m}x^{m}}{b_{n}x^{n}} .

Continue seus estudos acompanhando os Exemplos iniciais de limites.