Demonstração da derivada das funções logarítmicas

Neste post apresenta-se a Demonstração da derivada das funções logarítmicas, iniciando pela função primitiva $\log_{a} x$ , em seguida expandi-se para qualquer $\log_{a} u(x)$ .

Seja a função logarítmica primitiva :

$\displaystyle f(x)=\log_{a} x$ ,

aplicando a propriedade da mudança de base dos logaritmos tem-se:

$\displaystyle f(x)=\frac{\log_{e} x}{\log_{e}a}=\frac{\ln x}{\ln a}$ .

Utilizando a definição de derivada obtém-se:

$\displaystyle\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]= \frac{1}{\ln a}\cdot \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{ln(x+h)-ln(x)}{h}$ .

Ao aplicar a propriedade do quociente dos logaritmos fica-se com:

$\displaystyle\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]= \frac{1}{\ln a}\cdot \lim\limits_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{1}{h}\; ln\bigg(\frac{x+h}{x}\bigg)\right]$ .

Aplicando a propriedade da potência:

$\displaystyle\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]= \frac{1}{\ln a}\cdot \lim\limits_{h\rightarrow 0}\left[ ln\bigg(\frac{x+h}{x}\bigg)^{\frac{1}{h}}\right]$ .

Em seguida, deve-se fazer uma mudança de variável $\displaystyle \frac{h}{x}=s\Rightarrow h=s\:x$ , lembrando que devemos também trocar o valor do limite, quando $h\rightarrow 0$ então $s\rightarrow 0$ . Assim, tem-se:

$\displaystyle\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]= \frac{1}{\ln a}\cdot \lim\limits_{s\rightarrow 0}\left[ ln\big(1+s\big)^{\frac{1}{s\:x}}\right]=$

$\displaystyle \frac{1}{\ln a}\cdot \lim\limits_{s\rightarrow 0}\left[ ln\bigg(\big(1+s\big)^{\frac{1}{s}}\bigg)^{\frac{1}{x}}\right]=\frac{1}{\ln a}\cdot \lim\limits_{s\rightarrow 0}\left[\frac{1}{x} \: ln\big(1+s\big)^{\frac{1}{s}}\right]$ .

Como o limite não depende de x , utilizando a propriedade do limite de um logaritmo obtém-se:

$\displaystyle\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{1}{x}\ln \left[ \lim\limits_{s\rightarrow 0}\big(1+s\big)^{\frac{1}{s}}\right]$ .

Em seguida aplicamos o 2º Limite Fundamental: $\displaystyle\lim\limits_{s\rightarrow 0}\big(1+s\big)^{\frac{1}{s}}=e$ na qual obtém-se:

$\displaystyle\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{1}{x} \ln e =\frac{1}{x\:\ln a}$ .

Observe que caso “a” seja igual a $e$ tem-se:

$\displaystyle\frac{d}{dx}\big[\ln x\big]= \frac{1}{x}$ .

Como havíamos escrito no inicio, agora demostra-se a derivada de qualquer função logarítmica.

Seja a função logarítmica geral dada por:

$\displaystyle f(x)=\log_{a} u(x)$ .

Aplicando a propriedade da mudança de base dos logaritmos tem-se:

$\displaystyle f(x)=\frac{\log_{e} u(x)}{\log_{e}a}=\frac{\ln u(x)}{\ln a}$ .

Derivando fica-se com:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[\log_{a} u(x)\big]=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{d}{dx}\big[\ln u(x)\big]$ .

Como se trata de uma função composta, $\ln u(x)$ , ao derivar deve-se aplicar a regra da cadeia, onde

$\displaystyle \frac{1}{\ln a}\cdot \frac{d}{dx}\big[\ln u(x)\big]=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{d}{dv}\big[\ln v\big]\cdot \frac{d}{dx}\big[u(x)\big]$ .

Utilizando a derivada dos logaritmos mostrada a cima tem-se:

$\displaystyle \frac{1}{\ln a}\cdot \frac{d}{dv}\big[\ln v\big]\cdot \frac{d}{dx}\big[u(x)\big]=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{1}{v}\cdot \frac{d}{dx}\big[u(x)\big]$ .

Substituindo $v= u(x)$ obtém-se:

$\displaystyle \frac{1}{\ln a}\cdot \frac{1}{v}\cdot \frac{d}{dx}\big[u(x)\big]=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{1}{u(x)}\cdot \frac{d}{dx}\big[u(x)\big]$ .

Logo, fica-se com:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[\log_{a} u(x)\big] =\frac{1}{\ln a\cdot u(x)} \cdot \frac{d}{dx}\big[u(x)\big]$ .

Acompanhe alguns exemplos resolvidos em vídeo clicando aqui.

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