Integrais >

Resolvendo Integral usando duas técnicas: Integração por partes e Integração por substituição

Resolvendo Integral usando duas técnicas: Integração por partes e Integração por substituição 

Neste post estaremos Resolvendo Integral usando duas técnicas: Integração por partes e Integração por substituição. Caso queira rever estas duas técnicas com mais detalhes clique nos links a seguir: Integração por partes e Integração por substituição. 

Resolva: \displaystyle \int x^{7}\sqrt{1+x^{4}}dx

O primeiro passo para utilizarmos a Integração por partes é definirmos as funções u(x) e dv. Entretanto, para resolver esta integral temos um truque, que é abrir o termo da potência sétima em duas 

\displaystyle \int x^{4}x^{3}\sqrt{1+x^{4}}dx.

Assim, tomando

\displaystyle u=x^{4}\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;du=4x^{3}dx

e

\displaystyle dv=x^{3}\sqrt{1+x^{4}}.

Aqui observe que temos que integrar esta segunda equação, onde aplicamos a Técnica da Integração por substituição. Assim, tomando \displaystyle w=1+x^{4} e derivando \displaystyle dw=4x^{3}dx\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\frac{dw}{4}=x^{3}dx, substituindo

\displaystyle v=\int \sqrt{w}\frac{dw}{4}=\frac{1}{6}(1+x^{4})^{\frac{3}{2}}

Aplicando a técnica da Integração por partes temos

\displaystyle \int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.

Substituindo,

\displaystyle \int x^{7}\sqrt{1+x^{4}}dx=x^{4}\frac{1}{6}(1+x^{4})^{\frac{3}{2}}-\int\frac{1}{6}(1+x^{4})^{\frac{3}{2}}4x^{3}dx

Perceba que após aplicarmos a Integração por Partes, temos uma nova integral, em que podemos utilizar novamente a Integração por substituição. Onde chamamos \displaystyle u=1+x^{4} e derivando \displaystyle du=4x^{3}dx. Assim, substituindo na integral temos

\displaystyle \int x^{7}\sqrt{1+x^{4}}dx=x^{4}\frac{1}{6}(1+x^{4})^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{6}\int(u)^{\frac{3}{2}}du.

Por fim, resolvendo esta última integral obtemos o resultado desejado

\displaystyle \int x^{7}\sqrt{1+x^{4}}dx=x^{4}\frac{1}{6}(1+x^{4})^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{5}(u)^{\frac{5}{2}}+C,

substituindo e simplificando

\displaystyle \int x^{7}\sqrt{1+x^{4}}dx=x^{4}\frac{1}{6}(1+x^{4})^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{15}(1+x^{4})^{\frac{5}{2}}+C.

Publicado em 30/03/2019, em Integrais.