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Volume do sólido de revolução – Volume de uma aliança

Volume do sólido de revolução – Volume de uma aliança

Neste post resolveremos um exemplo do Cálculo do Volume do sólido de revolução, mais especificamente o Volume de uma aliança. Já publicamos de forma resumida a construção da fórmula em que calcula o volume dos sólidos de revolução. Assim, nos dedicaremos hoje apenas na sua aplicação.  

Primeiramente recorde que a fórmula do volume dos sólidos de revolução é dada por 

\displaystyle V=\int_{a}^{b}\pi \big(f(y)\big)^{2}dy.

onde o volume está dentro do objeto gerado ao girarmos f(y) entorno do eixo y e y=a e y=b.

Determine o volume do objeto de revolução apresentado na figura a seguir (eixos x e y em centímetros). 

 

O objeto consiste em uma aliança, que é formada ao girarmos uma elipse entre y=-0,2cm e y=0,2cm. Ou seja, temos uma aliança de 4mm de espessura e 16mm de diâmetro livre para colocarmos o dedo.

Primeiramente, temos que encontrarmos a equação da elipse, que na sua forma geral é dada por

\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,

onde “a” é a medida do raio maior e “b” a medida do raio menor da elipse. Assim temos a seguinte equação

\displaystyle \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{0,36}=1.

Observe que f(y)=x e que na formula do Volume do sólido de revolução temos f(y) ao quadrado. Assim, isolando teremos

\displaystyle x^{2}=1-\frac{y^{2}}{0,36}.

Porém, lembre que estamos determinando o volume de uma aliança, então um objeto é oco. Portanto, devemos descontar o volume do seu interior, onde temos a seguinte reta que o delimita

\displaystyle x=0,8.

Aplicando a fórmula do volume dos sólidos de revolução, temos

\displaystyle V=\pi\int_{-0,2}^{0,2}\pi\bigg(1-\frac{y^{2}}{0,36}\bigg)dy-\int_{-0,2}^{0,2}\pi (0,8)^{2}dy=

\displaystyle \pi \int_{-0,2}^{0,2}0,36-\frac{y^{2}}{0,36}dy.

Dessa forma, aplicando as propriedades das integrais temos 

\displaystyle V=\pi\int_{-0,2}^{0,2}0,36-\frac{y^{2}}{0,36}dy=\pi \bigg(0,36y-\frac{y^{3}}{3\cdot 0,36}\bigg)\bigg|_{-0,2}^{0,2}\cong 0,129\pi.

Assim obtemos o resultado desejado em centímetros cúbicos. Se tivermos o valor da massa específica do ouro e seu valor por grama, saberemos qual será o custo do material. Claro, ainda temos o valor da mão de obra e de outros detalhes que quiser a mais nas alianças.

Caso você ficou em dúvida em algum passo da resolução, nos deixe seu comentário.

Publicado em 02/03/2019, em aplicações, Integrais.