Máximos e Mínimos de uma função

Máximos e Mínimos de uma função: teste da primeira derivada

 

Grosseiramente podemos dizer que os pontos de Máximos e Mínimos de uma função são os pontos de picos e de depressões da função.  Veja o gráfico:

Observando o gráfico podemos identificar que os pontos f(a) e f(b) são pontos de máximo local e f(0) é ponto de mínimo local. 

Ainda mais, podemos dizer que o ponto f(b) é um máximo absoluto e f(0) é ponto de mínimo absoluto, pois f(b) é o maior valor de f  e f(0) é o menor valor de f :

f(0)\leq f(x)\leq f(b) .

Mas como encontrar estes pontos em uma função
qualquer que não se conheça o gráfico?

Observamos que nos pontos de máximos e de mínimos de uma função com intervalos infinitos encontram-se os pontos críticos (pontos de inflexão).

Assim, quando derivamos e igualamos a zero, encontram-se estes pontos,  f'(x)=0 , para retomar como se encontram os pontos críticos clique aqui.

Cuidado: nem todo ponto de inflexão é um ponto de máximo ou mínimo, sempre faça o estudo do sinal da função antes e depois dos pontos encontrados, pois o sinal deve mudar.  

Veja o exemplo da função f(x)=x^{3} para o domínio x \in \mathbb{R} , na qual  f'(x)=3x^{2} e 3x^{2}=0 onde encontramos x=0, porém esta função é monótona crescente (sempre crescente), não havendo troca de sinal em 0. Logo, não há pontos de máximos e de mínimos.

Obs: quando temos uma função f  continua em um intervalo fechado, [a,b], então tem-se pontos de máximos ou mínimos locais em a e b, mas não necessariamente máximos ou mínimos absolutos.

Acompanhe o desenvolvimento de alguns exemplos clicando: Exemplo 1, Exemplo 2, Exemplo 3 e Exemplo 4.