Derivação implícita

Derivação implícita

 

As equações podem ser escritas de forma explícita, ou seja, a variável dependente y está isolada, ou de forma implícita, onde a variável dependente y não está isolada . Um exemplo de função na forma implícita é a equação da circunferência x^{2}+y^{2}=r^{2} . Deste modo, neste post apresenta-se como fazer a Derivação implícita de uma equação.

Até aqui estamos trabalhando com equações explícitas ou funções na forma explícita, em que f(x)=y estava isolada de uma lado da equação

y=x^{2}+3x-4 . 

Entretanto, como realizar a derivação para equações implícitas ou na forma implícita, onde não temos a variável y isolada?

x^{2}+y^{2}+xy=3 .

A ideia é aplicar a derivada em relação a x em ambos os lados da equação, da seguinte forma:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{2}+y^{2}+xy\big]=\frac{d}{dx}\big[3\big] .

 Pelas propriedades das derivadas a derivada da soma é igual a soma das derivadas, assim:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{2}\big]+\frac{d}{dx}\big[y^{2}\big]+\frac{d}{dx}\big[xy\big]=\frac{d}{dx}\big[3\big] .

Para facilitar na explicação, resolve-se cada uma das derivadas separadamente e no final retorna-se à equação original substituindo cada termo.

A primeira delas resolve-se aplicando a derivada da potência dada por:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{2}\big]=2x .

A segunda derivada tem-se uma função y que é dependente de x. Deste modo, ao aplicar a regra da cadeia obtém-se:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[y^{2}\big]=\frac{d}{dy}\big[y^{2}]\cdot \frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx} .

A terceira derivada tem-se o produto de duas funções, por isto aplica-se a propriedade da derivada do produto para obter:

\displaystyle\frac{d}{dx}\big[xy\big]=x\frac{d}{dx}\big[y\big]+y\frac{d}{dx}\big[x\big]  .

Em seguida, aplica-se a regra da cadeia ao primeiro termo e a derivada da potência no segundo para ter-se:

\displaystyle x\frac{d}{dx}\big[y\big]+y\frac{d}{dx}\big[x\big]=x\frac{d}{dy}\big[y\big]\cdot \frac{dy}{dx}+y=x \frac{dy}{dx}+y .

Por fim, a derivada do termo que está do outro lado da igualdade, que é a derivada de uma constante 

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[3\big]=0 .

Concluído o cálculo de todas derivadas, deve-se substituir ao problema original  \displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{2}\big]+\frac{d}{dx}\big[y^{2}\big]+\frac{d}{dx}\big[xy\big]=\frac{d}{dx}\big[3\big] . Portanto, tem-se: 

\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}+x\frac{dy}{dx}+y=0 .

Agrupando os termos que contém as derivadas e isolando obtém-se:

\displaystyle (2y+x)\frac{dy}{dx}=-2x-y \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{2y+x} .

Assista também a explicação de outra derivada implícita em vídeo clicando aqui.