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A meia-vida de determinado medicamento – função exponencial

A meia-vida de determinado medicamento – função exponencial

Neste post abordaremos as funções que descrevem a meia-vida de determinado medicamento. Estas funções são do tipo exponencial. A temática deste post é baseada na questão enviado por um dos nossos alunos. Esta questão é do vestibular da UFRGS de 2020.

(UFRGS 2020) A concentração de alguns medicamentos no organismo está relacionada com a meia-vida, ou seja, o tempo necessário para que a quantidade inicial do medicamento no organismo seja reduzida pela metade. Considere que a meia-vida de um determinado medicamento é de 6 horas. Sabendo que um paciente ingeriu 120mg desse medicamento às 10 horas, assinale a alternativa que representa a melhor aproximação para a concentração desse medicamento, no organismo desse paciente, às 16 horas do dia seguinte.

(A) 2,75 mg.
(B) 3 mg.
(C) 3,75 mg.
(D) 4 mg.
(E) 4,25 mg.

Resolução:

Primeiramente, se você estiver em um vestibular, você pode/deve resolver da forma mais rápida possível para sobrar tempo para as demais questões. Assim, vou apresentar duas formas de resolver: uma a que julgo mais rápida/intuitiva e outra utilizando conhecimentos de funções exponenciais.

Primeira forma:

A primeira é a forma mais rápida. A questão diz que a meia-vida é de 6 horas, ou seja, a cada 6 horas o medicamento no organismo reduz pela metade. Portanto, basta fazer uma tabela em que na linha superior a cada coluna você soma 6 horas e na linha inferior você divide pela metade (por 2).

Primeiro dia Segundo dia
10h 16h 22h 04h 10h 16h
120mg 60mg 30mg 15mg 7,5mg 3,75mg

Portanto, a resposta é a letra C.

Segunda forma:

A segunda forma de resolver é utilizando os conhecimentos de funções exponenciais. A função exponencial geral de meia-vida é da seguinte forma

\displaystyle f(t)=f_{0}\cdot e^{c\cdot t}

onde t é a variável tempo decorrido, \displaystyle f_{0} é a quantidade inicial e c é a constante de decaimento. A quantidade inicial a questão já nos informa que é 120mg, assim, temos

\displaystyle f(t)=120\cdot e^{c\cdot t}.

A segunda informação dada pela questão é que a meia-vida é de 6 horas. Assim, a quantidade inicial cai para 60mg em 6 horas. Substituindo estas informações na função temos

\displaystyle 60=120\cdot e^{c\cdot 6}.

Agora iremos fazer uma série de manipulações para determinarmos a constante c,

\displaystyle \frac{60}{120}=e^{c\cdot 6}

\displaystyle 0,5=e^{c\cdot 6}

Em seguida, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados

\displaystyle \ln (0,5)=\ln (e^{c\cdot 6}).

Mas por que aplicar o logaritmo natural? Pois queremos manipular a equação a fim de isolar a variável c, para isto iremos utilizar a Propriedade da Potência dos logaritmos. Assim, aplicando está propriedade temos

\displaystyle \ln (0,5)=c\cdot 6\ln (e)

e como \displaystyle \ln (e)=1 temos

\displaystyle \ln (0,5)=c\cdot 6.

Portanto,

\displaystyle c=\frac{\ln (0,5)}{6}.

Dessa forma, substituindo c na função desejada temos

\displaystyle f(t)=120\cdot e^{\frac{ln(0,5)}{6}\cdot t}\displaystyle =120\cdot e^{ln(0,5)\cdot\frac{t}{6}}\displaystyle =120\cdot \left(e^{ln(0,5)}\right)^{\frac{t}{6}}.

Por fim, como \displaystyle e^{ln(a)}=a, temos que 

\displaystyle f(t)=120\cdot \left(0,5\right)^{\frac{t}{6}}.

Finalmente, aplicando o tempo desejado na função obtida, obteremos o resultado. São 14 horas do primeiro dia mais 16 horas do segundo dia, assim, se passaram 30 horas que o paciente ingeriu o medicamento. Portanto, temos

\displaystyle f(t)=120\cdot \left(0,5\right)^{\frac{30}{6}}\displaystyle =120\cdot \left(0,5\right)^{5}=3,75.

Portanto, a resposta correta é a letra C.

Publicado em 04/07/2020, em aplicações, Funções, Questões de vestibular. Marcado com as tags exponencial, função exponencial, logaritmo, meia-vida.