Cálculo da área entre curvas

Cálculo da área entre curvas

Possivelmente o Cálculo da área entre curvas seja a aplicação mais comum das integrais. Esta aplicação decorre da própria ideia de integral, que é a área de uma região plana sob uma curva. Assim, partiremos do conceito de integral como área e expandiremos para área entre curvas.

Área sob uma curva

Seja A a região de um plano delimitada pela curva contínua f(x), o eixo das abscissas (y=0) e as retas verticais x = a e x = b. 

Como já vimos no post passado, esta área A é dada pela integral

\displaystyle A=\int_{a}^{b}f(x)dx. 

Calculo da área entre curvas

Seguindo a mesma lógica da área sob uma curva, podemos construir a fórmula para calcular a área entre curvas. Assim, definimos duas curvas continuas f(x) e g(x), onde f(x) seja maior ou igual de g(x) em todo intervalo [a,b]. Ao calcular a área sob cada uma das curvas temos 

\displaystyle A_{1}=\int_{a}^{b}f(x)dx

e

\displaystyle A_{2}=\int_{a}^{b}g(x)dx.

Observe nos gráficos a seguir estas duas áreas.

área entre curvas 1

Assim, se queremos calcular a área entre a curva f(x) e a curva g(x), devemos subtrair de \displaystyle A_{1} a área \displaystyle A_{2}. Dessa forma, temos

\displaystyle A=A_{1}-A_{2}=\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx.

Conforme as propriedades das integrais, a subtração de integrais definidas no mesmo intervalo é igual a integral da subtração, assim

\displaystyle A=\int_{a}^{b}f(x)-g(x)dx.

área entre curvas 2

Exemplo:

Calcule a área entre as curvas \displaystyle f(x)=-\frac{1}{10}(x^{2}-18x+17) e \displaystyle g(x)=\frac{x+1}{2}.

O primeiro passo é encontrar os pontos de intersecção e avaliar onde f(x) é maior do que g(x) e vice-versa. Desse modo, os pontos de intersecção são onde f(x)=g(x). Logo, 

\displaystyle -\frac{1}{10}(x^{2}-18x+17)=\frac{x+1}{2}

assim,

\displaystyle x^{2}-13x+22=0.

Desse modo, ao encontrar as raízes obtemos x=2 e x=11. Assim, concluímos que a região desejada fica entre estes dois valores de x. Em seguida, devemos identificar qual das funções é maior neste intervalo. Para isto avaliamos as duas funções em um ponto qualquer entre x=2 e x=11. Assim,

\displaystyle f(5)=-\frac{1}{10}(x^{2}-18x+17)=\frac{24}{5}

\displaystyle g(5)=\frac{x+1}{2}=3

Portanto, no intervalo indicado f(x) é maior do que g(x). Assim sendo, devemos apenas aplicar a integral

\displaystyle A=\int_{2}^{11}f(x)-g(x)dx=\int_{2}^{11}-\frac{1}{10}(x^{2}-18x+17)-\frac{x+1}{2}dx=

\displaystyle \int_{2}^{11}-\frac{x^{2}}{10}+\frac{13x}{10}-\frac{22}{10}dx.

Resolvendo a integral,

\displaystyle \left(-\frac{x^{3}}{30}+\frac{13x^{2}}{20}-\frac{22x}{10}\right)\Bigg|_{2}^{11}=\frac{243}{20}.

Algumas observações:

  1. Não é necessário que f(a)=g(a) e f(b)=g(b) sejam iguais.
  2. Caso f(x) não seja maior que g(x) em todo intervalo de integração, devemos separar os intervalos.
  3. A área desejada pode estar entre mais do que duas curvas, assim devemos analisar os pontos de intersecção. Veja exemplo a seguir:

área entre curvas 3

A área entre as curvas f(x), g(x) e h(x) é dada por

\displaystyle A=\int_{a}^{c}f(x)-g(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)-h(x)dx.

Nos próximos post estaremos resolvendo exercícios envolvendo cálculo de áreas.