Integrais

Integrais – Cálculo de Áreas

 

O cálculo integral tem como sua finalidade originária encontrar área de região plana sob uma curva no plano cartesiano, onde estas curvas são definidos por funções. Por exemplo, na figura a seguir temos uma área A em que seu contorno é formado pela função f(x) e as retas x=a, x=b e y=0 (eixo x).

Integrais

Esta área A é representada da seguinte forma

\displaystyle A=\int_{a}^{b}f(x)dx. 

Integral de Riemann

O primeiro a apresentar uma definição de integral foi Bernhard Riemann, por isto chamamos de integral de Riemann. Ele partiu de uma ideia intuitiva de calcular esta área A aproximando-a por áreas de retângulos, ou seja, ele particionou o intervalo \displaystyle [a,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n-1},b] e com cada parte construiu retângulos com altura \displaystyle f(c_{i}) para \displaystyle c_{i}\in[x_{i-1},x_{i}].

Integrais com Retângulos

Chamando cada intervalo da partição de \displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} e para cada altura dos retângulos de \displaystyle f(c_{i}) temos 

\displaystyle A\approx \sum_{i=1}^{N}f(c_{i})\cdot \Delta x_{i}.

Perceba que quanto mais partições forem feitas, os retângulos melhor preenchem a área sob a curva e menor será as sobras sobre a curva, assim minimizando o erro. Portanto, se fizermos \displaystyle \Delta x\rightarrow 0 , as espessuras dos retângulos tentem a zero e também o erro tenderá a zero. Desta forma obtém-se área desejada

\displaystyle A= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{N}f(c_{i})\cdot \Delta x_{i}.

Perceba que ao \displaystyle \Delta x tender a zero, significa dizer que os intervalos tornam-se cada vez menores, ou seja, seu comprimento torna-se infinitesimal, que em linguagem matemática é simbolizado por \displaystyle dx.  

Portanto, para esta soma Riemann chamou de integral e representou da forma que hoje conhecemos 

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx. 

Em breve começaremos a publicar mais materiais sobre Integrais, continue acompanhando.