Limites laterais

Limites laterais

Calcular os Limites laterais significa calcular o limite em um determinado ponto a  aproximando-se por ambos os lados, ou seja, pela direita (valores maiores do que a) e pela esquerda (valores menor que do a) .

Simbolicamente é expresso da seguinte forma:

  • Pela direita: \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}f(x) .
  • Pela esquerda: \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}f(x) .
Limite a direita

Se f(x) tende L_{1} quando x\rightarrow a através de valores maiores que a diz-se que L_{1} é o limite de f(x) quando x tende para a pela direita e indica-se por:

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=L_{1} .

Limite a esquerda

Se f(x) tende L_{2} quando x\rightarrow a através de valores menores que a diz-se que L_{2} é o limite de f(x) quando x tende para a pela esquerda e indica-se por:

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=L_{2} .

Existência do Limite

O limite de f(x) quando x\rightarrow a existe, se e somente se, os limites laterais são iguais, ou seja: 

Se \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}f(x)= C então \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= C, onde C é uma constante. 

Caso os limites laterais em a sejam diferentes, o limite neste ponto a não existe.   

Exemplo:

1) Observando o gráfico da função f(x) presente na figura a seguir, podemos determinar os seus limites:

Limites Laterais
a) \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=3 

b) \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=1

c) \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\nexists

2) Considere a função

\displaystyle f(x)=\left \{ \begin{matrix} x^{2}-1, & se & x \leqslant -2 \\2x+7, & se & x > -2\end{matrix} \right.

a) \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -2^{+}}f(x) 

Quando o limite tende pela direita temos a função f(x)=2x+7 . Ao aplicar o limite quando x\rightarrow -2  obtém-se:

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -2^{+}}2x+7=-4+7=3.

Logo,

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -2^{+}}f(x)=3 . 

b) \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -2^{-}}f(x) 

Quando o limite tende pela esquerda temos a função f(x)=x^{2}-1 . Ao aplicar o limite quando x\rightarrow -2  obtém-se:

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -2^{-}}x^{2}-1=4-1=3 .

Logo,

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -2^{-}}f(x)=3 . 

Portanto, os limites laterais são iguais, ou seja, \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow -2^{-}}f(x)=3 e pela Existência do Limite tem-se:

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -2}f(x)=3 .

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