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Exemplo 3 – Domínio e Imagem de uma Função Raiz

Domínio e Imagem de uma Função Raiz

Vamos calcular o Domínio e Imagem de uma Função Raiz,  sabendo que \{x,f(x)\} \in \mathbb{R} e

f(x)=\sqrt{x^{2}-5x+6} .

Neste terceiro exemplo tem-se um novo tipo de função, chamada Função Raiz. As funções deste tipo podem ser separadas em dois grupos:

  • Raízes pares;
  • Raízes ímpares.

As raízes pares possuem a restrição que o valor do radicando deve ser sempre maior ou igual do que 0 para se obter valores reais. Portanto, para encontrar o domínio deve-se analisar para quais valores de x o radicando é maior ou igual a 0, ou seja:

x^{2}-5x+6\geq 0 .

Esse exercício é semelhante ao Exemplo 6 das inequações. Assim, aplicando a mesma metodologia chega-se a D=(-\infty ,2] \cup [3,+\infty ) .

Para encontrar a imagem sugere-se novamente a construção de um esboço do gráfico da função. Ao calcular o domínio já percebe-se que a imagem não possui valores negativos e que, os pontos onde ela é exatamente igual a zero são 2 e 3.

Então, o próximo passo na construção do esboço é analisar o comportamento da função nos extremos (-\infty e +\infty ). Aqui, nota-se que em ambos extremos o valor de f(x) tende a +\infty . 

Gráfico de uma função raiz para analisar o Domínio e Imagem de uma Função Raiz

Portanto, a imagem desta função é I =[0,+\infty) .

Caso desejar,  confira também a resolução do Domínio e Imagem de uma Função Raiz em vídeo: Exemplo 3.

Portanto, esperamos que tenha ficado claro esse exercício sobre Domínio e Imagem de uma Função Raiz.

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Publicado em 21/06/2016, em Funções. Marcado com as tags domínio e imagem, função raiz.