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Exercícios resolvidos sobre limites fundamentais

Exercícios resolvidos sobre limites fundamentais

 

Neste post apresentam-se alguns Exercícios resolvidos sobre limites fundamentais, caso você ainda não os conhece clique aqui.

Exemplo 1) \displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{tg(4x)}{x}

Neste primeiro exercício inicia-se utilizando as propriedades trigonométricas transformando a função tangente na divisão de seno por cosseno da seguinte forma: 

\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{tg(4x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{sen(4x)}{cos(4x)\cdot x} .

Em seguida, deve-se multiplicar numerador e denominador por 4 e aplicar a propriedade da multiplicação de limites, acompanhe: 

\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{sen(4x)\cdot 4}{cos(4x)\cdot 4x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{4}{cos(4x)}\cdot \lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{sen(4x)}{4x} .

Agora pode-se trabalhar com os dois limites separadamente e, no fim, multiplicar as suas respostas. No primeiro vê-se facilmente que quando x \rightarrow 0 o denominador tenderá a 1, pois cos(0)=1:

\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{4}{cos(4x)}=\frac{4}{cos(0)}=\frac{4}{1}=4 .

N segundo limite deve-se fazer uma mudança de variável, onde u=4x, sabendo que quando x \rightarrow 0 temos também u \rightarrow 0. Assim: 

\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{sen(4x)}{4x}=\lim\limits_{u \rightarrow 0}\frac{sen(u)}{u}.

Aplicando o limite fundamental visto no post anterior tem-se: 

\displaystyle\lim\limits_{u \rightarrow 0}\frac{sen(u)}{u}=1 .

Por fim, deve-se multiplicar o resultado dos dois limites, onde obtém-se: 

\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{4}{cos(4x)}\cdot \lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{sen(4x)}{4x}=4\cdot 1=4 .

Exemplo 2) \displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)^{x+1}

Ao olharmos para este segundo exemplo já podemos perceber que ao manipular este limite chega-se em uma expressão semelhante ao  segundo limite fundamental.

Utilizando as propriedades das potências tem-se: 

\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)^{x+1}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)^{x}\cdot\left( \frac{x+1}{x}\right)^{1} .

Como no exemplo anterior separa-se o limite na multiplicação de dois limites e depois de resolve-los, separadamente, multiplicam-se os resultados: 

\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)^{x}\cdot\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right) .

Manipulando o primeiro limite percebe-se facilmente que tem-se um limite fundamental: 

\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)^{x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left(1+ \frac{1}{x}\right)^{x}=e .

O segundo, manipulando e usando as propriedades dos limites tem-se: 

\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left(1+ \frac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}1+\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x}=1+0=1 .

Por fim, basta multiplicar os resultados:

\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)^{x}\cdot\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)=e\cdot 1=e .

Exemplo 3) \displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}

Neste exemplo inicia-se fazendo um truque matemático de somar e subtrair 1 do numerador e, em seguida, separar este limite na soma de outros dois: 

\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}+1-1-e^{-x}}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}+\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{-e^{-x}+1}{x} .

O primeiro é aplicação direta do 3º limite fundamental: 

\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\ln{e}=1 .

O segundo deve-se manipular ele, onde chega-se a: 

\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{-e^{-x}+1}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{e^{-x}-1}{-x} . 

Agora fazendo uma troca de variável, u=-x e sabendo que quando x \rightarrow 0 também u\rightarrow 0, substituindo tem-se: 

\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{e^{-x}-1}{-x}=\lim\limits_{u \rightarrow 0}\frac{e^{u}-1}{u} .

Nota-se novamente o 3º limite fundamental:

\displaystyle \lim\limits_{u \rightarrow 0}\frac{e^{u}-1}{u}=\ln{e}=1 .

Somando os dois limites tem-se: 

\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}+\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{-e^{-x}+1}{x}=1+1=2 .

Publicado em 09/10/2016, em Limites.