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Volumes de revolução entorno do eixo y – exercícios resolvidos

Volumes de revolução entorno do eixo y – exercícios resolvidos

Neste post resolveremos alguns Volumes de revolução entorno do eixo y. Aplicaremos a fórmula apresentado no post anterior em alguns exercícios.  Se você quiser acompanhar a resolução de exercícios entorno do eixo x clique aqui.

Primeiramente, reapresentamos a definição da fórmula que iremos utilizar.

Definição

Seja uma função f(x) continua não negativa em [a,b], então o volume de revolução V formado ao girarmos a função f(x) definida entre [a,b] entorno do eixo y e limitado por y=0 é determinado por 

\displaystyle V=\int_{a}^{b}2\pi xf(x)dx.

Determine o volume do objeto gerado ao girarmos as funções f(x) e g(x) entorno do eixo y entre os pontos de intersecção.

\displaystyle f(x)=3-x^{2} e \displaystyle g(x)=-\sqrt{3}x+3

Para uma melhor compreensão do problema, geramos o gráfico das duas funções.

Volumes de revolução entorno do eixo y

Mas primeiro vamos encontrar os pontos de intersecção ao igualarmos as duas funções. 

\displaystyle f(x)=g(x)

\displaystyle 3-x^{2}=-\sqrt{3}x+3\:\Rightarrow\: x^{2}-\sqrt{3}x=0\:\Rightarrow\: x(x-\sqrt{3})=0

Assim para termos a última igualdade x deve ser \displaystyle x=0 ou \displaystyle x=\sqrt{3}, logo os pontos são  \displaystyle (0,3) e \displaystyle (\sqrt{3},0).

Agora, aplicamos a definição, mas antes observe que a função f(x) é maior do que g(x) no intervalo de integração. Assim, temos

\displaystyle V=\int_{0}^{\sqrt{3}}2\pi x(3-x^{2})dx-\int_{0}^{\sqrt{3}}2\pi x(-\sqrt{3}x+3)dx.

Como temos o mesmo intervalo de integração, podemos reescrever como uma única integral. Além disto, aproveitamos para associarmos os termos em comum

\displaystyle V=\int_{0}^{\sqrt{3}}2\pi x(-x^{2}+\sqrt{3}x)dx

e retirar o \displaystyle 2\pi do integrando, uma vez que, ele não depende de x, assim temos

\displaystyle V=2\pi \int_{0}^{\sqrt{3}}x(-x^{2}+\sqrt{3}x)dx.

No integrando temos uma multiplicação de polinômios, que resultará também em um polinômio. Assim, nosso problema se resume em integrar um polinômio. Portanto, temos

\displaystyle V=2\pi \int_{0}^{\sqrt{3}}-x^{3}+\sqrt{3}x^{2}dx.

No integrando esta última equação teremos 

\displaystyle V=2\pi \left(-\frac{x^{4}}{4}+\sqrt{3}\frac{x^{3}}{3}\right)\bigg|_{0}^{\sqrt{3}}=2\pi \left(-\frac{9}{4}+3\right)=\frac{3\pi}{2}.

Observe que no exercício 2 do post passado já tinhamos resolvido este exercício. Porém, lá utilizamos a fórmula para os casos de revolução entorno do eixo x. Ambos podem ser utilizadas, você pode escolher a que melhor lhe convém.

Publicado em 31/08/2019, em aplicações, Integrais. Marcado com as tags integral, sólidos de revolução, volume de sólidos de revolução.